Factorize: (a) (x+y)2+11(x+y)+30 (b) (a-b)2-5(a-b)+6 (c) (p+q)2+15(p+q)-100 (d) (m-n)2-2(m-n)-35 (e) (a+4)2-11(a+4)-42 (f) x2(2a+3b)-5x(2a+3b)+6 (g) x2(a+b)+5x(a+b)+6 (h) a2(m+n)-3a(m+n)+2

यहाँ दिइएका अभिव्यक्तिहरूको गुणनखण्ड निकाल्ने तरिका तल दिइएको छ:

a) $(x+y)^2 + 11(x+y) + 30$

Step 1: $(x+y)$ लाई एउटा चर $z$ मान्नुहोस्।

$$z = x+y$$

अभिव्यक्तिलाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:

$$z^2 + 11z + 30$$

Step 2: मध्य पदलाई विभाजन गरेर गुणनखण्ड निकाल्नुहोस्। हामीलाई दुईवटा संख्या चाहिन्छ जसको गुणनफल 30 र योगफल 11 हो। ती संख्याहरू 5 र 6 हुन्।

$$z^2 + 5z + 6z + 30$$

Step 3: साझा गुणनखण्डहरू निकाल्नुहोस्।

$$z(z+5) + 6(z+5)$$ $$(z+5)(z+6)$$

Step 4: $z$ को मान $(x+y)$ लाई फिर्ता राख्नुहोस्।

$$(x+y+5)(x+y+6)$$

The final answer is $\boxed{(x+y+5)(x+y+6)}$

c) $(p+q)^2 + 15(p+q) - 100$

Step 1: $(p+q)$ लाई एउटा चर $z$ मान्नुहोस्।

$$z = p+q$$

अभिव्यक्तिलाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:

$$z^2 + 15z - 100$$

Step 2: मध्य पदलाई विभाजन गरेर गुणनखण्ड निकाल्नुहोस्। हामीलाई दुईवटा संख्या चाहिन्छ जसको गुणनफल $-100$ र योगफल 15 हो। ती संख्याहरू 20 र $-5$ हुन्।

$$z^2 + 20z - 5z - 100$$

Step 3: साझा गुणनखण्डहरू निकाल्नुहोस्।

$$z(z+20) - 5(z+20)$$ $$(z+20)(z-5)$$

Step 4: $z$ को मान $(p+q)$ लाई फिर्ता राख्नुहोस्।

$$(p+q+20)(p+q-5)$$

The final answer is $\boxed{(p+q+20)(p+q-5)}$

e) $(a+4)^2 - 11(a+4) - 42$

Step 1: $(a+4)$ लाई एउटा चर $z$ मान्नुहोस्।

$$z = a+4$$

अभिव्यक्तिलाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:

$$z^2 - 11z - 42$$

Step 2: मध्य पदलाई विभाजन गरेर गुणनखण्ड निकाल्नुहोस्। हामीलाई दुईवटा संख्या चाहिन्छ जसको गुणनफल $-42$ र योगफल $-11$ हो। ती संख्याहरू $-14$ र 3 हुन्।

$$z^2 - 14z + 3z - 42$$

Step 3: साझा गुणनखण्डहरू निकाल्नुहोस्।

$$z(z-14) + 3(z-14)$$ $$(z-14)(z+3)$$

Step 4: $z$ को मान $(a+4)$ लाई फिर्ता राख्नुहोस् र सरल बनाउनुहोस्।

$$(a+4-14)(a+4+3)$$ $$(a-10)(a+7)$$

The final answer is $\boxed{(a-10)(a+7)}$$

g) $x^2(a+b) + 5x(a+b) + 6(a+b)$

Step 1: सबै पदहरूमा साझा गुणनखण्ड $(a+b)$ लाई बाहिर निकाल्नुहोस्।

$$(a+b)(x^2 + 5x + 6)$$

Step 2: कोष्ठक भित्रको त्रिपदीय अभिव्यक्तिको गुणनखण्ड निकाल्नुहोस्। हामीलाई दुईवटा संख्या चाहिन्छ जसको गुणनफल 6 र योगफल 5 हो। ती संख्याहरू 2 र 3 हुन्।

$$(a+b)(x^2 + 2x + 3x + 6)$$

Step 3: कोष्ठक भित्रका पदहरूलाई समूह बनाएर साझा गुणनखण्ड निकाल्नुहोस्।

$$(a+b)(x(x+2) + 3(x+2))$$ $$(a+b)(x+2)(x+3)$$

The final answer is $\boxed{(a+b)(x+2)(x+3)}$