Solve the following radical equations: a) sqrt(4-x) - sqrt(6+x) = sqrt(14+2x) b) 2sqrt(x-12) + sqrt(6x-39) - 3 = 0

Maneno chini ya mizizi lazima yawe yasiyo hasi:
$4-x \ge 0 \implies x \le 4$
$6+x \ge 0 \implies x \ge -6$
$14+2x \ge 0 \implies 2x \ge -14 \implies x \ge -7$
Kwa hivyo, $x$ lazima iwe katika kipindi $[-6, 4]$.

$\sqrt{4-x} = \sqrt{14+2x} + \sqrt{6+x}$
Pandisha pande zote mbili kwa mraba:

Gawanya pande zote mbili kwa 2:

Kwa kuwa upande wa kulia ni mzizi wa mraba (na kwa hivyo si hasi), upande wa kushoto pia lazima usiwe hasi:

Kwa hivyo, suluhisho lolote lazima litimize masharti ya awali na $x \le -4$. Hii inamaanisha $x$ lazima iwe katika kipindi $[-6, -4]$.

Gawanya kwa 2:

Faktorisha mlinganyo:

Hivyo, $x=-5$ au $x=2$.

Kutoka Step 3, tulihitaji $x \in [-6, -4]$.

• Kwa $x=-5$: $-5$ iko ndani ya kipindi $[-6, -4]$.
• Kwa $x=2$: 2 haiko ndani ya kipindi $[-6, -4]$. Hivyo, $x=2$ ni suluhisho la ziada.

Kwa $x=-5$:

Suluhisho ni sahihi.

Suluhisho la mlinganyo a) ni: $\boxed{x=-5}$

Maneno chini ya mizizi lazima yawe yasiyo hasi:
$x-12 \ge 0 \implies x \ge 12$
$2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{2}$
Kwa hivyo, $x$ lazima iwe katika kipindi $[12, \infty)$.

Pandisha pande zote mbili kwa mraba:

Gawanya pande zote mbili kwa 2:

Kwa kuwa upande wa kushoto ni mzizi wa mraba (na kwa hivyo si hasi), upande wa kulia pia lazima usiwe hasi:

Kutoka Step 1, tulihitaji $x \ge 12$.
Kutoka Step 3, tulihitaji $x \le 10$.
Hakuna thamani ya $x$ inayoweza kukidhi masharti yote mawili ($x \ge 12$ na $x \le 10$) kwa wakati mmoja. Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho halali kwa mlinganyo huu.

Suluhisho la mlinganyo b) ni: $\boxed{\text{Hakuna suluhisho}}$