For Newton-Raphson method, the initial approximation x0, converging to reciprocal of a positive integer n must satisfy-

हम $x = \frac{1}{n}$ ज्ञात करना चाहते हैं। इसे $nx = 1$ या $nx - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए, हम फलन $f(x) = nx - 1$ के मूल ज्ञात कर सकते हैं।
वैकल्पिक रूप से, हम $f(x) = \frac{1}{x} - n$ का उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि पिछले प्रश्न में किया गया था। आइए इस फलन का उपयोग करें क्योंकि यह अधिक सामान्य है जब व्युत्क्रम की बात आती है।
$f(x) = \frac{1}{x} - n = x^{-1} - n$

यदि $f(x) = x^{-1} - n$, तो इसका अवकलज है:

न्यूटन-रैफसन पुनरावृत्ति सूत्र है:

$f(x_k)$ और $f'(x_k)$ के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

पुनरावृत्ति संबंध $x_{k+1} = x_k(2 - nx_k)$ को अभिसरण करने के लिए, हम $y_k = nx_k$ प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं।
तब $x_k = \frac{y_k}{n}$ और $x_{k+1} = \frac{y_{k+1}}{n}$।
सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

हम चाहते हैं कि $x_k$ का मान $\frac{1}{n}$ की ओर अभिसरित हो, जिसका अर्थ है कि $y_k$ का मान $n \cdot \frac{1}{n} = 1$ की ओर अभिसरित होना चाहिए।
फलन $g(y) = y(2-y)$ के लिए, स्थिर बिंदु (fixed points) $y = y(2-y) \implies y = 2y - y^2 \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0$ हैं।
इसलिए, स्थिर बिंदु $y=0$ और $y=1$ हैं। हम चाहते हैं कि यह $y=1$ की ओर अभिसरित हो।
अभिसरण के लिए, प्रारंभिक मान $y_0$ को $0 < y_0 < 2$ की सीमा में होना चाहिए।
यदि $y_0 = 0$, तो $y_k = 0$ रहेगा।
यदि $y_0 = 2$, तो $y_1 = 2(2-2) = 0$, और फिर $y_k = 0$ रहेगा।
यदि $y_0 < 0$ या $y_0 > 2$, तो अनुक्रम $y_k$ 1 की ओर अभिसरित नहीं होगा।
इसलिए, अभिसरण के लिए शर्त $0 < y_0 < 2$ है।
$y_0 = nx_0$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर:

$n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए हम असमानता को $n$ से विभाजित कर सकते हैं:

यह शर्त विकल्प (1) से मेल खाती है।

The final answer is $\text{(1) } 0 < x_0 < \frac{2}{n}$.