For Newton-Raphson method, the initial approximation x0, converging to reciprocal of a positive integer n must satisfy-

न्यूटन-रैफसन विधि का उपयोग करके एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के व्युत्क्रम (reciprocal) के लिए अभिसरण (converging) प्रारंभिक सन्निकटन $x_0$ की शर्त ज्ञात करने के लिए, हम एक फलन $f(x)$ को परिभाषित करते हैं जिसका मूल $\frac{1}{n}$ है।

Step 1: फलन $f(x)$ को परिभाषित करें। हम $x = \frac{1}{n}$ ज्ञात करना चाहते हैं। इसे $nx = 1$ या $nx - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, हम फलन $f(x) = nx - 1$ के मूल ज्ञात कर सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, हम $f(x) = \frac{1}{x} - n$ का उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि पिछले प्रश्न में किया गया था। आइए इस फलन का उपयोग करें क्योंकि यह अधिक सामान्य है जब व्युत्क्रम की बात आती है। $f(x) = \frac{1}{x} - n = x^{-1} - n$

Step 2: $f(x)$ का अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें। यदि $f(x) = x^{-1} - n$, तो इसका अवकलज है: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-1} - n) = -1x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Step 3: न्यूटन-रैफसन सूत्र लागू करें और पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करें। न्यूटन-रैफसन पुनरावृत्ति सूत्र है: $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ $f(x_k)$ और $f'(x_k)$ के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: $x_{k+1} = x_k - \frac{\frac{1}{x_k} - n}{-\frac{1}{x_k^2}}$ $x_{k+1} = x_k + x_k^2 \left(\frac{1}{x_k} - n\right)$ $x_{k+1} = x_k + x_k - nx_k^2$ $x_{k+1} = 2x_k - nx_k^2$ $x_{k+1} = x_k(2 - nx_k)$

Step 4: अभिसरण की शर्त ज्ञात करें। पुनरावृत्ति संबंध $x_{k+1} = x_k(2 - nx_k)$ को अभिसरण करने के लिए, हम $y_k = nx_k$ प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं। तब $x_k = \frac{y_k}{n}$ और $x_{k+1} = \frac{y_{k+1}}{n}$। सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{y_{k+1}}{n} = \frac{y_k}{n}(2 - n\frac{y_k}{n})$ $\frac{y_{k+1}}{n} = \frac{y_k}{n}(2 - y_k)$ $y_{k+1} = y_k(2 - y_k)$ हम चाहते हैं कि $x_k$ का मान $\frac{1}{n}$ की ओर अभिसरित हो, जिसका अर्थ है कि $y_k$ का मान $n \cdot \frac{1}{n} = 1$ की ओर अभिसरित होना चाहिए। फलन $g(y) = y(2-y)$ के लिए, स्थिर बिंदु (fixed points) $y = y(2-y) \implies y = 2y - y^2 \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0$ हैं। इसलिए, स्थिर बिंदु $y=0$ और $y=1$ हैं। हम चाहते हैं कि यह $y=1$ की ओर अभिसरित हो। अभिसरण के लिए, प्रारंभिक मान $y_0$ को $0 < y_0 < 2$ की सीमा में होना चाहिए। यदि $y_0 = 0$, तो $y_k = 0$ रहेगा। यदि $y_0 = 2$, तो $y_1 = 2(2-2) = 0$, और फिर $y_k = 0$ रहेगा। यदि $y_0 < 0$ या $y_0 > 2$, तो अनुक्रम $y_k$ $1$ की ओर अभिसरित नहीं होगा। इसलिए, अभिसरण के लिए शर्त $0 < y_0 < 2$ है। $y_0 = nx_0$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर: $0 < nx_0 < 2$ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए हम असमानता को $n$ से विभाजित कर सकते हैं: $0 < x_0 < \frac{2}{n}$

यह शर्त विकल्प (1) से मेल खाती है।

The final answer is $\boxed{(1) 0 < x_0 < \frac{2}{n}}$.