We read your photo as:

To ensure the Trapezoidal Rule and Midpoint Rule approximations for the integral integral12 (1/x)\,dx are accurate to within 0.0001, what value of n is required?

Mathematics

ScanSolve AI Answer

Answer

41\text{41}

Step-by-step solution

8 steps

Example 2: تحديد nn لدقة قاعدة شبه المنحرف وقاعدة نقطة المنتصف

لضمان أن تقريبات قاعدة شبه المنحرف وقاعدة نقطة المنتصف للدالة ∫12(1/x) dx\int_{1}^{2} (1/x)\,dx دقيقة في حدود 0.0001، نحتاج إلى تحديد قيمة nn.
الدالة هي f(x)=1/xf(x) = 1/x.
المشتقة الثانية هي f′′(x)=2/x3f''(x) = 2/x^3.
على الفترة [1,2][1, 2]، القيمة المطلقة القصوى لـ f′′(x)f''(x) تحدث عند x=1x=1، لذا K=∣f′′(1)∣=∣2/13∣=2K = |f''(1)| = |2/1^3| = 2.
الفترة هي [a,b]=[1,2][a, b] = [1, 2].

أولاً: قاعدة شبه المنحرف (Trapezoidal Rule)

الخطأ في قاعدة شبه المنحرف يُعطى بالصيغة:

∣ET∣≤K(b−a)312n2|E_T| \le \frac{K(b-a)^3}{12n^2}

نحن نريد أن يكون الخطأ أقل من 0.0001:

K(b−a)312n2<0.0001\frac{K(b-a)^3}{12n^2} < 0.0001

  1. تعويض القيم المعروفة في صيغة الخطأ.

    2(2−1)312n2<0.0001\frac{2(2-1)^3}{12n^2} < 0.0001

  2. تبسيط المتباينة.

    2(1)312n2<0.0001\frac{2(1)^3}{12n^2} < 0.0001 212n2<0.0001\frac{2}{12n^2} < 0.0001 16n2<0.0001\frac{1}{6n^2} < 0.0001

  3. حل المتباينة لـ n2n^2.

    1<0.0001×6n21 < 0.0001 \times 6n^2 1<0.0006n21 < 0.0006n^2 n2>10.0006n^2 > \frac{1}{0.0006} n2>1666.666...n^2 > 1666.666...

  4. إيجاد nn وتقريبها لأعلى عدد صحيح.

    n>1666.666...n > \sqrt{1666.666...} n>40.82n > 40.82

    لذلك، يجب أن نأخذ n=41n = \boxed{\text{41}} لضمان الدقة المطلوبة باستخدام قاعدة شبه المنحرف.

    ثانياً: قاعدة نقطة المنتصف (Midpoint Rule)

    الخطأ في قاعدة نقطة المنتصف يُعطى بالصيغة:

    ∣EM∣≤K(b−a)324n2|E_M| \le \frac{K(b-a)^3}{24n^2}

    نحن نريد أن يكون الخطأ أقل من 0.0001:

    K(b−a)324n2<0.0001\frac{K(b-a)^3}{24n^2} < 0.0001

  5. تعويض القيم المعروفة في صيغة الخطأ.

    2(2−1)324n2<0.0001\frac{2(2-1)^3}{24n^2} < 0.0001

  6. تبسيط المتباينة.

    2(1)324n2<0.0001\frac{2(1)^3}{24n^2} < 0.0001 224n2<0.0001\frac{2}{24n^2} < 0.0001 112n2<0.0001\frac{1}{12n^2} < 0.0001

  7. حل المتباينة لـ n2n^2.

    1<0.0001×12n21 < 0.0001 \times 12n^2 1<0.0012n21 < 0.0012n^2 n2>10.0012n^2 > \frac{1}{0.0012} n2>833.333...n^2 > 833.333...

  8. إيجاد nn وتقريبها لأعلى عدد صحيح.

    n>833.333...n > \sqrt{833.333...} n>28.86n > 28.86

    لذلك، يجب أن نأخذ $

Was this helpful?

Try one yourself

A new problem that tests the same skill.

Still stuck on this one?

Ask a follow-up, and the answer starts from this question.

Got a different question?Ask your own question

More Mathematics Questions

QEvaluate the integral integral1.24.4 (2x2 + 3x − 1)/(sqrt(x+2)) dx using the Trapezium Rule with…QWhat is the primary assumption of the trapezoidal rule and how is it applied to the integral…QQ14. Determine the value integral (1)/(^n(x)* ^n(x)) dxQApply the power rule for integration, integral xⁿ \,dx = xⁿ⁺¹n+1 + C, and integral k \,dx = kx + C.QTo evaluate the integral using the trapezium rule with eight ordinates, we first need to determine…
Browse by topic:Calculus
See all Mathematics questions →
Got a syllabus? Photograph it and I'll tell you what's due and what's worth the most.
Handwritten step-by-step solution preview

Handwritten Step-by-Step Solution

Get this as a handwritten image on WhatsApp — like a tutor wrote it for you.

Try on WhatsApp