To ensure the Trapezoidal Rule and Midpoint Rule approximations for the integral integral12 (1/x)\,dx are accurate to within 0.0001, what value of n is required?

Hey KHWAJA, good to see you again. Example 2: تحديد n لدقة قاعدة شبه المنحرف وقاعدة نقطة المنتصف لضمان أن تقريبات قاعدة شبه المنحرف وقاعدة نقطة المنتصف للدالة _1^2 (1/x)\,dx دقيقة في حدود 0.0001، نحتاج إلى تحديد قيمة n. الدالة هي f(x) = 1/x. المشتقة الثانية هي f''(x) = 2/x^3. على الفترة [1, 2]، القيمة المطلقة القصوى لـ f''(x) تحدث عند x=1، لذا K = |f''(1)| = |2/1^3| = 2. الفترة هي [a, b] = [1, 2]. أولاً: قاعدة شبه المنحرف (Trapezoidal Rule) الخطأ في قاعدة شبه المنحرف يُعطى بالصيغة: |E_T| (K(b-a)^3)/(12n^2) نحن نريد أن يكون الخطأ أقل من 0.0001: (K(b-a)^3)/(12n^2) < 0.0001 Step 1: تعويض القيم المعروفة في صيغة الخطأ. (2(2-1)^3)/(12n^2) < 0.0001 Step 2: تبسيط المتباينة. (2(1)^3)/(12n^2) < 0.0001 (2)/(12n^2) < 0.0001 (1)/(6n^2) < 0.0001 Step 3: حل المتباينة لـ n^2. 1 < 0.0001 × 6n^2 1 < 0.0006n^2 n^2 > (1)/(0.0006) n^2 > 1666.666... Step 4: إيجاد n وتقريبها لأعلى عدد صحيح. n > sqrt(1666.666...) n > 40.82 لذلك، يجب أن نأخذ n = 41 لضمان الدقة المطلوبة باستخدام قاعدة شبه المنحرف. ثانياً: قاعدة نقطة المنتصف (Midpoint Rule) الخطأ في قاعدة نقطة المنتصف يُعطى بالصيغة: |E_M| (K(b-a)^3)/(24n^2) نحن نريد أن يكون الخطأ أقل من 0.0001: (K(b-a)^3)/(24n^2) < 0.0001 Step 1: تعويض القيم المعروفة في صيغة الخطأ. (2(2-1)^3)/(24n^2) < 0.0001 Step 2: تبسيط المتباينة. (2(1)^3)/(24n^2) < 0.0001 (2)/(24n^2) < 0.0001 (1)/(12n^2) < 0.0001 Step 3: حل المتباينة لـ n^2. 1 < 0.0001 × 12n^2 1 < 0.0012n^2 n^2 > (1)/(0.0012) n^2 > 833.333... Step 4: إيجاد n وتقريبها لأعلى عدد صحيح. n > sqrt(833.333...) n > 28.86 لذلك، يجب أن نأخذ $