For u = x2 − y2, v = -y / (x2 + y2) which of the following statement is not correct?

एक फलन $\phi(x, y)$ हारमोनिक (प्रसंवादी) होता है यदि वह लाप्लास समीकरण $\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$ को संतुष्ट करता है।

$u$ के लिए:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2$
$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y) = -2$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 + (-2) = 0$
अतः, $u$ एक हारमोनिक फलन है।

$v$ के लिए:
$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \right) = \frac{2y(x^2+y^2)^2 - 2xy \cdot 2(x^2+y^2)(2x)}{(x^2+y^2)^4} = \frac{2y(x^2+y^2) - 8x^2y}{(x^2+y^2)^3} = \frac{2x^2y + 2y^3 - 8x^2y}{(x^2+y^2)^3} = \frac{2y^3 - 6x^2y}{(x^2+y^2)^3}$
$\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \right) = \frac{2y(x^2+y^2)^2 - (y^2-x^2) \cdot 2(x^2+y^2)(2y)}{(x^2+y^2)^4} = \frac{2y(x^2+y^2) - 4y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3} = \frac{2x^2y + 2y^3 - 4y^3 + 4x^2y}{(x^2+y^2)^3} = \frac{6x^2y - 2y^3}{(x^2+y^2)^3}$
$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \frac{2y^3 - 6x^2y}{(x^2+y^2)^3} + \frac{6x^2y - 2y^3}{(x^2+y^2)^3} = 0$ (जहाँ $x^2+y^2 \neq 0$)
अतः, $v$ भी एक हारमोनिक फलन है।

• विकल्प B कहता है कि "$u$ और $v$ दोनों लाप्लास समीकरण संतुष्ट करते है।" यह कथन सही है।
• विकल्प C कहता है कि "$u$ और $v$ प्रसंवादी फलन नहीं हैं।" यह कथन गलत है, क्योंकि हमने दिखाया कि दोनों हारमोनिक फलन हैं।

एक फलन $f(z) = u+iv$ विश्लेषिक होता है यदि वह कॉची-रीमैन (Cauchy-Riemann) समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ और $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

जाँच करें:
$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$
क्या $2x = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$? नहीं, यह सामान्यतः सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $x=1, y=0$, तो $2 = -1$, जो गलत है।
अतः, $u+iv$ विश्लेषिक फलन नहीं है।

• विकल्प D कहता है कि "$u+iv,z$ का एक विश्लेषिक फलन है।" यह कथन गलत है।

एक फलन $f(z) = u-iv$ विश्लेषिक होता है यदि वह कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (-v)}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial (-v)}{\partial x} \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$

जाँच करें:
$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$
$-\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$
क्या $2x = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$? नहीं, यह सामान्यतः सत्य नहीं है।
अतः, $u-iv$ विश्लेषिक फलन नहीं है।

• विकल्प A कहता है कि "$u-iv,z$ का एक विश्लेषिक फलन नहीं है।" यह कथन सही है।

निष्कर्ष:
हमने पाया कि कथन C और D दोनों गलत हैं। हालाँकि, एक बहुविकल्पीय प्रश्न में आमतौर पर केवल एक ही गलत कथन होता है। दिए गए विकल्पों में से, विकल्प C सीधे तौर पर $u$ और $v$ के हारमोनिक होने के मौलिक गुण का खंडन करता है।

सही उत्तर वह कथन है जो गलत है।
विकल्प C: "$u$ और $v$ प्रसंवादी फलन नहीं हैं।" यह कथन गलत है क्योंकि $u$ और $v$ दोनों प्रसंवादी फलन हैं।
विकल्प D: "$u+iv,z$ का एक विश्लेषिक फलन है।" यह कथन भी गलत है क्योंकि $u+iv$ विश्लेषिक फलन नहीं है।

यदि हमें एक ही उत्तर चुनना है, तो हम विकल्प C को चुनेंगे क्योंकि यह $u$ और $v$ के मौलिक गुण (हारमोनिक होने) के बारे में एक गलत दावा करता है।

The statement that is not correct is:
C) $\boxed{\text{U and v are not harmonic function}}$