This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यह प्रश्न जटिल संख्याओं और विश्लेषिक फलनों से संबंधित है। हमें दिए गए फलनों u और v के लिए गलत कथन की पहचान करनी है। दिए गए फलन हैं: u(x, y) = x^2 - y^2 v(x, y) = (-y)/(x^2 + y^2) हम u और v के आंशिक अवकलज (partial derivatives) ज्ञात करेंगे: ( u)/( x) = 2x ( u)/( y) = -2y ( v)/( x) = ()/( x) ( (-y)/(x^2 + y^2) ) = -y · (-2x)/((x^2 + y^2)^2) = (2xy)/((x^2 + y^2)^2) ( v)/( y) = ()/( y) ( (-y)/(x^2 + y^2) ) = (-(x^2 + y^2) - (-y)(2y))/((x^2 + y^2)^2) = (-x^2 - y^2 + 2y^2)/((x^2 + y^2)^2) = (y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2) अब हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करेंगे: Step 1: विकल्प B और C की जाँच करें (हारमोनिक फलन और लाप्लास समीकरण)। एक फलन (x, y) हारमोनिक (प्रसंवादी) होता है यदि वह लाप्लास समीकरण (^2 )/( x^2) + (^2 )/( y^2) = 0 को संतुष्ट करता है। u के लिए: (^2 u)/( x^2) = ()/( x)(2x) = 2 (^2 u)/( y^2) = ()/( y)(-2y) = -2 (^2 u)/( x^2) + (^2 u)/( y^2) = 2 + (-2) = 0 अतः, u एक हारमोनिक फलन है। v के लिए: (^2 v)/( x^2) = ()/( x) ( (2xy)/((x^2 + y^2)^2) ) = (2y(x^2+y^2)^2 - 2xy · 2(x^2+y^2)(2x))/((x^2+y^2)^4) = (2y(x^2+y^2) - 8x^2y)/((x^2+y^2)^3) = (2x^2y + 2y^3 - 8x^2y)/((x^2+y^2)^3) = (2y^3 - 6x^2y)/((x^2+y^2)^3) (^2 v)/( y^2) = ()/( y) ( (y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2) ) = (2y(x^2+y^2)^2 - (y^2-x^2) · 2(x^2+y^2)(2y))/((x^2+y^2)^4) = (2y(x^2+y^2) - 4y(y^2-x^2))/((x^2+y^2)^3) = (2x^2y + 2y^3 - 4y^3 + 4x^2y)/((x^2+y^2)^3) = (6x^2y - 2y^3)/((x^2+y^2)^3) (^2 v)/( x^2) + (^2 v)/( y^2) = (2y^3 - 6x^2y)/((x^2+y^2)^3) + (6x^2y - 2y^3)/((x^2+y^2)^3) = 0 (जहाँ x^2+y^2 ≠ 0) अतः, v भी एक हारमोनिक फलन है। • विकल्प B कहता है कि "u और v दोनों लाप्लास समीकरण संतुष्ट करते है।" यह कथन सही है। • विकल्प C कहता है कि "u और v प्रसंवादी फलन नहीं हैं।" यह कथन गलत है, क्योंकि हमने दिखाया कि दोनों हारमोनिक फलन हैं। Step 2: विकल्प D की जाँच करें (u+iv विश्लेषिक फलन है)। एक फलन f(z) = u+iv विश्लेषिक होता है यदि वह कॉची-रीमैन (Cauchy-Riemann) समीकरणों को संतुष्ट करता है: ( u)/( x) = ( v)/( y) और ( u)/( y) = -( v)/( x) जाँच करें: ( u)/( x) = 2x ( v)/( y) = (y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2) क्या 2x = (y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2)? नहीं, यह सामान्यतः सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि x=1, y=0, तो 2 = -1, जो गलत है। अतः, u+iv विश्लेषिक फलन नहीं है। • विकल्प D कहता है कि "u+iv,z का एक विश्लेषिक फलन है।" यह कथन गलत है। Step 3: विकल्प A की जाँच करें (u-iv विश्लेषिक फलन नहीं है)। एक फलन f(z) = u-iv विश्लेषिक होता है यदि वह कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है: ( u)/( x) = ( (-v))/( y) ( u)/( x) = -( v)/( y) ( u)/( y) = -( (-v))/( x) ( u)/( y) = ( v)/( x) जाँच करें: ( u)/( x) = 2x -( v)/( y) = -(y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2) = (x^2 - y^2)/((x^2 + y^2)^2) क्या 2x = (x^2 - y^2)/((x^2 + y^2)^2)? नहीं, यह सामान्यतः सत्य नहीं है। अतः, u-iv विश्लेषिक फलन नहीं है। • विकल्प A कहता है कि "u-iv,z का एक विश्लेषिक फलन नहीं है।" यह कथन सही है। निष्कर्ष: हमने पाया कि कथन C और D दोनों गलत हैं। हालाँकि, एक बहुविकल्पीय प्रश्न में आमतौर पर केवल एक ही गलत कथन होता है। दिए गए विकल्पों में से, विकल्प C सीधे तौर पर u और v के हारमोनिक होने के मौलिक गुण का खंडन करता है। सही उत्तर वह कथन है जो गलत है। विकल्प C: "u और v प्रसंवादी फलन नहीं हैं।" यह कथन गलत है क्योंकि u और v दोनों प्रसंवादी फलन हैं। विकल्प D: "u+iv,z का एक विश्लेषिक फलन है।" यह कथन भी गलत है क्योंकि u+iv विश्लेषिक फलन नहीं है। यदि हमें एक ही उत्तर चुनना है, तो हम विकल्प C को चुनेंगे क्योंकि यह u और v के मौलिक गुण (हारमोनिक होने) के बारे में एक गलत दावा करता है। The statement that is not correct is: C) U and v are not harmonic function That's 2 down. 3 left today — send the next one.