This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यह प्रश्न एक गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression - GP) से संबंधित है। दिए गए हैं: • गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद (first term), a = 3 • सभी 2n पदों का योग (sum of all 2n terms), S_2n • विषम स्थान पदों का योग (sum of its odd place terms), S_odd • S_2n = 3 × S_odd हमें सार्व अनुपात (common ratio), r ज्ञात करना है। Step 1: गुणोत्तर श्रेणी के पदों को लिखें। एक गुणोत्तर श्रेणी के पद a, ar, ar^2, ar^3, , ar^2n-1 होते हैं। यहाँ a=3 है। Step 2: सभी 2n पदों का योग S_2n ज्ञात करें। गुणोत्तर श्रेणी के N पदों का योग का सूत्र है S_N = (a(r^N - 1))/(r - 1) (यदि r ≠ 1)। तो, S_2n = a(r^2n - 1)r - 1 = 3(r^2n - 1)r - 1। Step 3: विषम स्थान पदों का योग S_odd ज्ञात करें। विषम स्थान के पद हैं: a, ar^2, ar^4, , ar^2n-2। यह भी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद A = a = 3 है। इसका सार्व अनुपात R = (ar^2)/(a) = r^2 है। पदों की संख्या N_odd = n है (क्योंकि 2n पदों में से n विषम स्थान पर और n सम स्थान पर होते हैं)। तो, S_odd = A(R^N_odd - 1)R - 1 = (a((r^2)^n - 1))/(r^2 - 1) = 3(r^2n - 1)r^2 - 1। Step 4: दिए गए संबंध S_2n = 3 × S_odd का उपयोग करें। 3(r^2n - 1)r - 1 = 3 × 3(r^2n - 1)r^2 - 1 दोनों पक्षों से 3(r^2n - 1) को रद्द करें (यह मानते हुए कि r^2n - 1 ≠ 0, जिसका अर्थ है r ≠ 1)। (1)/(r - 1) = (3)/(r^2 - 1) हम जानते हैं कि r^2 - 1 = (r - 1)(r + 1)। (1)/(r - 1) = (3)/((r - 1)(r + 1)) दोनों पक्षों से (r - 1) को रद्द करें (यह मानते हुए कि r - 1 ≠ 0, जिसका अर्थ है r ≠ 1)। 1 = (3)/(r + 1) अब r + 1 के लिए हल करें: r + 1 = 3 r = 3 - 1 r = 2 Step 5: सार्व अनुपात की पुष्टि करें। सार्व अनुपात r = 2 है। यह विकल्प A से मेल खाता है। The final answer is A. 2 अगला प्रश्न भेजें 📸