Given that x+y=8 and x2 +y2=34 a.Find the values of;x2+2xy+y2 ;2st ;x22xy+y2 ;xy

Haya, tutatumia milinganyo uliyopewa kutatua kila sehemu.

Milinganyo uliyopewa ni:

1. $x+y=8$
2. $x^2+y^2=34$

a) Tafuta thamani ya $x^2+2xy+y^2$

Step 1: Tambua usemi. Usemi $x^2+2xy+y^2$ ni sawa na $(x+y)^2$.

Step 2: Badilisha thamani ya $x+y$. Tunajua kutoka kwa mlinganyo wa kwanza kwamba $x+y=8$. $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2 = 8^2$

Step 3: Rahisisha. $8^2 = 64$ Thamani ya $x^2+2xy+y^2$ ni $\boxed{64}$.

b) Tafuta thamani ya $2xy$

Step 1: Tumia matokeo ya sehemu (a). Tunajua kwamba $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. Pia tunajua $(x+y)^2 = 64$ na $x^2+y^2=34$. Hivyo, tunaweza kuandika: $64 = (x^2+y^2) + 2xy$

Step 2: Badilisha thamani ya $x^2+y^2$. $64 = 34 + 2xy$

Step 3: Tatua kwa $2xy$. Toa 34 kutoka pande zote mbili: $2xy = 64 - 34$ $2xy = 30$ Thamani ya $2xy$ ni $\boxed{30}$.

c) Tafuta thamani ya $x^2-2xy+y^2$

Step 1: Tambua usemi. Usemi $x^2-2xy+y^2$ ni sawa na $(x-y)^2$. Pia tunaweza kuandika kama $(x^2+y^2) - 2xy$.

Step 2: Badilisha thamani ya $x^2+y^2$ na $2xy$. Tunajua $x^2+y^2=34$ na kutoka sehemu (b) tumepata $2xy=30$. $x^2-2xy+y^2 = 34 - 30$

Step 3: Rahisisha. $34 - 30 = 4$ Thamani ya $x^2-2xy+y^2$ ni $\boxed{4}$.

d) Tafuta thamani ya $x-y$

Step 1: Tumia matokeo ya sehemu (c). Tunajua kwamba $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. Kutoka sehemu (c), tumepata $x^2-2xy+y^2 = 4$. Hivyo, $(x-y)^2 = 4$

Step 2: Chukua mzizi wa mraba pande zote mbili. $x-y = \pm\sqrt{4}$

Step 3: Rahisisha. $x-y = \pm 2$ Thamani ya $x-y$ ni $\boxed{2 au -2}$.