This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
Sawa NCHAMA, tuendelee na maswali haya. Swali la 11: a) Rahisisha A (A B)' kwa kutumia sheria za aljebra ya seti. Step 1: Tumia Sheria ya De Morgan kwa (A B)'. (A B)' = A' B' Step 2: Badilisha hii kwenye usemi wa awali. A (A' B') Step 3: Tumia sheria ya ushirika (associative law) na sheria ya kubadilishana (commutative law). (A A') B' Step 4: Tunajua kuwa A A' = (seti tupu). B' Step 5: Makutano ya seti tupu na seti yoyote ni seti tupu. Hivyo, A (A B)' = . b) Ikiwa A, B, na C ni seti sawa ambazo A na C hazina mwingiliano, onyesha kuwa n(A B C) = 3n(A) - n(A B) - n(B C). Step 1: Andika fomula ya jumla ya idadi ya vipengele katika muungano wa seti tatu. n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) - n(A C) - n(B C) + n(A B C) Step 2: Tumia masharti uliyopewa: • A, B, na C ni seti sawa, hivyo n(A) = n(B) = n(C). • A na C hazina mwingiliano (disjoint), hivyo A C = . Hii inamaanisha n(A C) = 0. • Kwa kuwa A C = , basi A B C = pia, hivyo n(A B C) = 0. Step 3: Badilisha masharti haya kwenye fomula ya jumla. n(A B C) = n(A) + n(A) + n(A) - n(A B) - 0 - n(B C) + 0 Step 4: Rahisisha usemi. n(A B C) = 3n(A) - n(A B) - n(B C) Hii inathibitisha usemi uliotolewa. Swali la 12: Tunapewa U = \1, 2, 3, ..., 10\ na B = \2, 4, 6\. Onyesha kuwa: a) B B = Step 1: Fomula ya tofauti ya ulinganifu (symmetric difference) ni A B = (A B) (B A). B B = (B B) (B B) Step 2: Seti yoyote ikitoa yenyewe ni seti tupu. B B = Step 3: Muungano wa seti tupu na seti tupu ni seti tupu. = Hivyo, B B = . b) B U = B' Step 1: Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu. B U = (B U) (U B) Step 2: Seti B ikitoa seti ya jumla U ni seti tupu. Seti ya jumla U ikitoa seti B ni kikamilisho cha B, yaani B'. B U = U B = B' Step 3: Muungano wa seti tupu na B' ni B'. B' = B' Hivyo, B U = B'. c) B = B Step 1: Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu. B = (B ) ( B) Step 2: Seti B ikitoa seti tupu ni B. Seti tupu ikitoa seti B ni seti tupu. B = B B = Step 3: Muungano wa B na seti tupu ni B. B = B Hivyo, B = B. d) B B' = U Step 1: Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu. B B' = (B B') (B' B) Step 2: Seti B ikitoa kikamilisho chake B' ni B yenyewe. Kikamilisho cha B' ikitoa B ni B' yenyewe. B B' = B B' B = B' Step 3: Muungano wa B na B' ni seti ya jumla U. B B' = U Hivyo, B B' = U. Swali la 13: Thibitisha yafuatayo kwa seti zozote tatu A, B, na C: a) A (B C) (A B) (A C) Step 1: Hii ni sheria ya usambazaji (distributive law) ya makutano juu ya muungano. Kwa kweli, ni usawa, sio tu subset. Step 2: Ili kuthibitisha X Y, tunahitaji kuonyesha kwamba ikiwa x X, basi x Y. Acha x A (B C). Hii inamaanisha x A NA x (B C). Hivyo, x A NA (x B AU x C). Step 3: Tumia sheria ya usambazaji ya mantiki. (x A NA x B) AU (x A NA x C). Hii inamaanisha x (A B) AU x (A C). Step 4: Hivyo, x (A B) (A C). Kwa hiyo, A (B C) (A B) (A C). Kwa kuwa usawa unashikilia, A (B C) = (A B) (A C), basi subset pia inashikilia. b) A (B C) (A B) (A C) Step 1: Hii ni sheria ya usambazaji ya muungano juu ya makutano. Kwa kweli, ni usawa. Step 2: Acha x A (B C). Hii inamaanisha x A AU x (B C). Hivyo, x A AU (x B NA x C). Step 3: Tumia sheria ya usambazaji ya mantiki. (x A AU x B) NA (x A AU x C). Hii inamaanisha x (A B) NA x (A C). Step 4: Hivyo, x (A B) (A C). Kwa hiyo, A (B C) (A B) (A C). Kwa kuwa usawa unashikilia, A (B C) = (A B) (A C), basi subset pia inashikilia. c) U A (A B C) Step 1: Tunajua kuwa U A = A. Hivyo, usemi unakuwa A (A B C). Step 2: Kwa ufafanuzi wa muungano, seti A daima ni subset ya muungano wa A na seti nyingine yoyote. Acha x A. Step 3: Ikiwa x A, basi x lazima iwe katika A B C. Hivyo, A (A B C). Kwa hiyo, U A (A B C) imethibitishwa. d) [(A B)' - C] A - C Step 1: Badilisha tofauti ya seti (X - Y) kuwa makutano na kikamilisho (X Y'). [(A B)' C'] (A C') Step 2: Tumia Sheria ya De Morgan kwa (A B)'. (A' B') C' A C' Step 3: Tumia sheria ya usambazaji kwa upande wa kushoto. (A' C') (B' C') A C' Step 4: Ili usemi huu uwe kweli, kila kipengele katika (A' C') (B' C') lazima kiwe katika A C'. Hii inamaanisha kwamba (A' C' A C') NA (B' C' A C'). A' C' A C' ni kweli tu ikiwa A' A, ambayo ni kweli tu ikiwa A = . B' C' A C' ni kweli tu ikiwa B' A. Kwa ujumla, usemi huu sio kweli. Kwa mfano, acha U=\1,2,3\, A=\1\, B=\2\, C=\3\. A B = , (A B)' = U = \1,2,3\. (A B)' - C = U - \3\ = \1,2\. A - C = \1\ - \3\ = \1\. Hapa, \1,2\ \1\. Kwa hiyo, usemi [(A B)' - C] A - C sio kweli kwa ujumla. e) (A C)' (C B)' = Step 1: Tumia Sheria ya De Morgan. (A' C') (C' B') Step 2: Tumia sheria ya usambazaji au factor out C'. C' (A' B') Step 3: Ili usemi huu uwe sawa na , inamaanisha C' = NA A' B' = . Hii inamaanisha C = U NA A' B' = . Hii sio kweli kwa seti zote za A, B, na C. Kwa mfano, acha U=\1,2,3\, A=\1\, B=\2\, C=\3\. (A C)' = ' = U = \1,2,3\. (C B)' = ' = U = \1,2,3\. (A C)' (C B)' = U U = U. Kwa kuwa U ≠ , usemi (A C)' (C B)' = sio kweli kwa ujumla. f) (B A') (C - A) = (B C) A' Step 1: Badilisha tofauti ya seti (C - A) kuwa makutano na kikamilisho (C A'). (B A') (C A') Step 2: Tumia sheria ya usambazaji (distributive law) kwa kutoa A' kama kigezo cha kawaida. (B C) A' Hivyo, (B A') (C - A) = (B C) A' imethibitishwa. g) A B' A Step 1: Kwa ufafanuzi wa makutano, A B' ina vipengele vyote vilivyo katika A na pia katika B'. Step 2: Ikiwa kipengele x kipo katika A B', basi kwa ufafanuzi wa makutano, x lazima iwe katika A. Hivyo, A B' A imethibitishwa. h) (B C)' (B' C') = B C Step 1: Tumia Sheria ya De Morgan kwa (B C)'. (B' C') (B' C') Step 2: Muungano wa seti mbili zinazofanana ni seti yenyewe. B' C' Step 3: Usemi unakuwa B' C' = B C. Hii sio kweli kwa ujumla. Kwa mfano, acha U=\1,2,3\, B=\1\, C=\2\. B' = \2,3\, C' = \1,3\. B' C' = \1,2,3\ = U. B C = . Kwa kuwa U ≠ , usemi (B C)' (B' C') = B C sio kweli kwa ujumla. i) (A B C)' = A' B' C' Step 1: Hii ni Sheria ya De Morgan kwa makutano ya seti tatu. Step 2: Kwa ufafanuzi, kikamilisho cha makutano ya seti ni muungano wa vikamilisho vya seti hizo. Acha x (A B C)'. Hii inamaanisha x (A B C). Hivyo, x A AU x B AU x C. Step 3: Hii inamaanisha x A' AU x B' AU x C'. Hivyo, x A' B' C'. Kwa hiyo, (A B C)' = A' B' C' imethibitishwa. Swali la 14: Tunapewa data ya wavulana wanaocheza michezo mitatu: Kriketi (C), Hoki (H), na Mpira wa Kikapu (B). Jumla ya wavulana N = 880. n(C) = 224 n(H) = 240 n(B) = 336 n(B H) = 64 n(C B) = 80 n(C H) = 40 n(C H B) = 24 Step 1: Kokotoa idadi ya wavulana wanaocheza angalau mchezo mmoja kwa kutumia kanuni ya ujumuishaji na kutengwa. n(C H B) = n(C) + n(H) + n(B) - n(C H) - n(C B) - n(B H) + n(C H B) n(C H B) = 224 + 240 + 336 - 40 - 80 - 64 + 24 n(C H B) = 800 - 184 + 24 n(C H B) = 616 + 24 = 640 a) hawachezi mchezo wowote Step 2: Idadi ya wavulana wasiocheza mchezo wowote ni jumla ya wavulana ukitoa wale wanaocheza angalau mchezo mmoja. n(hakuna mchezo) = N - n(C H B) = 880 - 640 = 240 Idadi ya wavulana wasiocheza mchezo wowote ni 240. b) wanacheza mchezo mmoja tu Step 3: Kokotoa idadi ya wanaocheza mchezo mmoja tu. n(C pekee) = n(C) - n(C H) - n(C B) + n(C H B) n(C pekee) = 224 - 40 - 80 + 24 = 224 - 120 + 24 = 104 + 24 = 128 n(H pekee) = n(H) - n(C H) - n(B H) + n(C H B) n(H pekee) = 240 - 40 - 64 + 24 = 240 - 104 + 24 = 136 + 24 = 160 n(B pekee) = n(B) - n(C B) - n(B H) + n(C H B) n(B pekee) = 336 - 80 - 64 + 24 = 336 - 144 + 24 = 192 + 24 = 216 Jumla ya wanaocheza mchezo mmoja tu: 128 + 160 + 216 = 504 Idadi ya wavulana wanaocheza mchezo mmoja tu ni 504. c) wanacheza kriketi au hoki lakini si mpira wa kikapu Step 4: Hii inamaanisha n((C H) B). n((C H) B) = n(C H) - n((C H) B) Kwanza, n(C H) = n(C) + n(H) - n(C H) = 224 + 240 - 40 = 464 - 40 = 424. Pili, n((C H) B) = n((C B) (H B)). n((C B) (H B)) = n(C B) + n(H B) - n(C B H B) n((C B) (H B)) = n(C B) + n(H B) - n(C B H) n((C B) (H B)) = 80 + 64 - 24 = 144 - 24 = 120 Sasa, toa: n((C H) B) = 424 - 120 = 304 Idadi ya wavulana wanaocheza kriketi au hoki lakini si mpira wa kikapu ni 304. d) wanacheza mpira wa kikapu na hoki lakini si kriketi Step 5: Hii inamaanisha n((B H) C). n((B H) C) = n(B H) - n(B H C) n((B H) C) = 64 - 24 = 40 Idadi ya wavulana wanaocheza mpira wa kikapu na hoki lakini si kriketi ni 40. Swali la 15: Jumla ya wanafunzi = 15 wavulana + 15 wasichana = 30. n(S) = 20 (Sayansi) n(M) = 14 (Hisabati) Kwa wavulana (B): n(S_B) = 10 n(M_B) = 10 n(S_B M_B) = 8 Wavulana wanaosoma angalau somo moja: n(S_B M_B) = n(S_B) + n(M_B) - n(S_B M_B) = 10 + 10 - 8 = 12. Wavulana wasiosoma somo lolote: 15 - 12 = 3. Kwa wasichana (G): Jumla ya wasichana = 15. Wasichana wasiosoma somo lolote: n(S'_G M'_G) = 4. Wasichana wanaosoma angalau somo moja: n(S_G M_G) = 15 - 4 = 11. Step 1: Kokotoa idadi ya wasichana wanaosoma Sayansi na Hisabati. n(S_G) = n(S) - n(S_B) = 20 - 10 = 10. n(M_G) = n(M) - n(M_B) = 14 - 10 = 4. Kwa wasichana: n(S_G M_G) = n(S_G) + n(M_G) - n(S_G M_G) 11 = 10 + 4 - n(S_G M_G) 11 = 14 - n(S_G M_G) n(S_G M_G) = 14 - 11 = 3. a) Sayansi na Hisabati zote mbili Step 2: Jumla ya wanafunzi wanaosoma Sayansi na Hisabati zote mbili. n(S M) = n(S_B M_B) + n(S_G M_G) = 8 + 3 = 11 Idadi ya wanafunzi wanaosoma Sayansi na Hisabati zote mbili ni 11. b) Hisabati lakini si Sayansi Step 3: Idadi ya wanafunzi wanaosoma Hisabati lakini si Sayansi. n(M S) = n(M) - n(S M) = 14 - 11 = 3 Idadi ya wanafunzi wanaosoma Hisabati lakini si Sayansi ni 3. c) somo moja tu Step 4: Idadi ya wanafunzi wanaosoma somo moja tu. Kwanza, kokotoa jumla ya wanafunzi wanaosoma angalau somo moja: n(S M) = n(S) + n(M) - n(S M) = 20 + 14 - 11 = 23 Wanafunzi wanaosoma somo moja tu ni n(S M) - n(S M). n(somo moja tu) = 23 - 11 = 12 Idadi ya wanafunzi wanaosoma somo moja tu ni 12. d) hakuna somo lolote Step 5: Idadi ya wanafunzi wasiosoma somo lolote. n(hakuna somo) = Jumla ya wanafunzi - n(S M) = 30 - 23 = 7 Idadi ya wanafunzi wasiosoma somo lolote ni 7. Swali la 16: Swali hili linaonekana kukatika na halina sehemu ya kuuliza. Nitatoa mahesabu ya kawaida yanayohusiana na data iliyotolewa. Jumla ya wanafunzi = 100. n(S) = 45 (Kihispania) n(F) = 28 (Kifaransa) n(C) = 22 (Kichina) n(S F) = 12 (Kihispania na Kifaransa) n(S C) = 8 (Kihispania na Kichina) n(F C) = 5 (Kifaransa na Kichina) n(S F C) = 3 (lugha zote tatu) Step 1: Kokotoa idadi ya wanafunzi wanaosoma angalau lugha moja. n(S F C) = n(S) + n(F) + n(C) - n(S F) - n(S C) - n(F C) + n(S F C) n(S F C) = 45 + 28 + 22 - 12 - 8 - 5 + 3 n(S F C) = 95 - 25 + 3 = 70 + 3 = 73 Idadi ya wanafunzi wanaosoma angalau lugha moja ni 73. Step 2: Kokotoa idadi ya wanafunzi wasiosoma lugha yoyote. n(hakuna lugha) = Jumla ya wanafunzi - n(S F C) = 100 - 73 = 27 Idadi ya wanafunzi wasiosoma lugha yoyote ni 27. 3 done, 2 left today. You're making progress.