If A, B, and C are any three sets, prove that: A ∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) ⊆ (A∪B)∩(A∪C)

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Sawa NCHAMA, tuendelee na maswali haya.

Swali la 11:

a) Rahisisha $A \cap (A \cup B)'$ kwa kutumia sheria za aljebra ya seti.

Tumia Sheria ya De Morgan kwa $(A \cup B)'$ .
$(A \cup B)' = A' \cap B'$
Badilisha hii kwenye usemi wa awali.
$A \cap (A' \cap B')$
Tumia sheria ya ushirika (associative law) na sheria ya kubadilishana (commutative law).
$(A \cap A') \cap B'$
Tunajua kuwa $A \cap A' = \emptyset$ (seti tupu).
$\emptyset \cap B'$
Makutano ya seti tupu na seti yoyote ni seti tupu.
$\emptyset$
Hivyo, $A \cap (A \cup B)' = \boxed{\emptyset}$ .

b) Ikiwa A, B, na C ni seti sawa ambazo A na C hazina mwingiliano, onyesha kuwa $n(A \cup B \cup C) = 3n(A) - n(A \cap B) - n(B \cap C)$ .
Andika fomula ya jumla ya idadi ya vipengele katika muungano wa seti tatu.
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
Tumia masharti uliyopewa
- A, B, na C ni seti sawa, hivyo $n(A) = n(B) = n(C)$ .
- A na C hazina mwingiliano (disjoint), hivyo $A \cap C = \emptyset$ . Hii inamaanisha $n(A \cap C) = 0$ .
- Kwa kuwa $A \cap C = \emptyset$ , basi $A \cap B \cap C = \emptyset$ pia, hivyo $n(A \cap B \cap C) = 0$ .
Badilisha masharti haya kwenye fomula ya jumla.
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(A) + n(A) - n(A \cap B) - 0 - n(B \cap C) + 0$
Rahisisha usemi.
$n(A \cup B \cup C) = 3n(A) - n(A \cap B) - n(B \cap C)$
Hii inathibitisha usemi uliotolewa.

Swali la 12:
Tunapewa $U = \{1, 2, 3, ..., 10\}$ na $B = \{2, 4, 6\}$ . Onyesha kuwa:

a) $B \Delta B = \emptyset$
Fomula ya tofauti ya ulinganifu (symmetric difference) ni $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ .
$B \Delta B = (B \setminus B) \cup (B \setminus B)$
Seti yoyote ikitoa yenyewe ni seti tupu.
$B \setminus B = \emptyset$
Muungano wa seti tupu na seti tupu ni seti tupu.
$\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$
Hivyo, $B \Delta B = \boxed{\emptyset}$ .

b) $B \Delta U = B'$
Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu.
$B \Delta U = (B \setminus U) \cup (U \setminus B)$
Seti $B$ ikitoa seti ya jumla $U$ ni seti tupu.
Seti ya jumla $U$ ikitoa seti $B$ ni kikamilisho cha $B$ , yaani $B'$ .
$B \setminus U = \emptyset$ $U \setminus B = B'$
Muungano wa seti tupu na $B'$ ni $B'$ .
$\emptyset \cup B' = B'$
Hivyo, $B \Delta U = \boxed{B'}$ .

c) $B \Delta \emptyset = B$
Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu.
$B \Delta \emptyset = (B \setminus \emptyset) \cup (\emptyset \setminus B)$
Seti $B$ ikitoa seti tupu ni $B$ .
Seti tupu ikitoa seti $B$ ni seti tupu.
$B \setminus \emptyset = B$ $\emptyset \setminus B = \emptyset$
Muungano wa $B$ na seti tupu ni $B$ .
$B \cup \emptyset = B$
Hivyo, $B \Delta \emptyset = \boxed{B}$ .

d) $B \Delta B' = U$
Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu.
$B \Delta B' = (B \setminus B') \cup (B' \setminus B)$
Seti $B$ ikitoa kikamilisho chake $B'$ ni $B$ yenyewe.
Kikamilisho cha $B'$ ikitoa $B$ ni $B'$ yenyewe.
$B \setminus B' = B$ $B' \setminus B = B'$
Muungano wa $B$ na $B'$ ni seti ya jumla $U$ .
$B \cup B' = U$
Hivyo, $B \Delta B' = \boxed{U}$ .

Swali la 13:
Thibitisha yafuatayo kwa seti zozote tatu A, B, na C:

a) $A \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup (A \cap C)$
Hii ni sheria ya usambazaji (distributive law) ya makutano juu ya muungano.
Kwa kweli, ni usawa, sio tu subset.
Ili kuthibitisha $X \subseteq Y$ , tunahitaji kuonyesha kwamba ikiwa $x \in X$ , basi $x \in Y$ .
Acha $x \in A \cap (B \cup C)$ .
Hii inamaanisha $x \in A$ NA $x \in (B \cup C)$ .
Hivyo, $x \in A$ NA ( $x \in B$ AU $x \in C$ ).
Tumia sheria ya usambazaji ya mantiki.
( $x \in A$ NA $x \in B$ ) AU ( $x \in A$ NA $x \in C$ ).
Hii inamaanisha $x \in (A \cap B)$ AU $x \in (A \cap C)$ .
Hivyo, $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
Kwa hiyo, $A \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
Kwa kuwa usawa unashikilia, $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , basi subset pia inashikilia.

b) $A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C)$
Hii ni sheria ya usambazaji ya muungano juu ya makutano.
Kwa kweli, ni usawa.
Acha $x \in A \cup (B \cap C)$ .
Hii inamaanisha $x \in A$ AU $x \in (B \cap C)$ .
Hivyo, $x \in A$ AU ( $x \in B$ NA $x \in C$ ).
Tumia sheria ya usambazaji ya mantiki.
( $x \in A$ AU $x \in B$ ) NA ( $x \in A$ AU $x \in C$ ).
Hii inamaanisha $x \in (A \cup B)$ NA $x \in (A \cup C)$ .
Hivyo, $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .
Kwa hiyo, $A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .
Kwa kuwa usawa unashikilia, $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ , basi subset pia inashikilia.

c) $U \cap A \subseteq (A \cup B \cup C)$
Tunajua kuwa $U \cap A = A$ .
Hivyo, usemi unakuwa $A \subseteq (A \cup B \cup C)$ .
Kwa ufafanuzi wa muungano, seti $A$ daima ni subset ya muungano wa $A$ na seti nyingine yoyote.
Acha $x \in A$ .
Ikiwa $x \in A$ , basi $x$ lazima iwe katika $A \cup B \cup C$ .
Hivyo, $A \subseteq (A \cup B \cup C)$ .
Kwa hiyo, $U \cap A \subseteq (A \cup B \cup C)$ imethibitishwa.

d) $[(A \cap B)' - C] \subseteq A - C$
Badilisha tofauti ya seti ( $X - Y$ ) kuwa makutano na kikamilisho ( $X \cap Y'$ ).
$[(A \cap B)' \cap C'] \subseteq (A \cap C')$
Tumia Sheria ya De Morgan kwa $(A \cap B)'$ .
$(A' \cup B') \cap C' \subseteq A \cap C'$
Tumia sheria ya usambazaji kwa upande wa kushoto.
$(A' \cap C') \cup (B' \cap C') \subseteq A \cap C'$
Ili usemi huu uwe kweli, kila kipengele katika $(A' \cap C') \cup (B' \cap C')$ lazima kiwe katika $A \cap C'$ .
Hii inamaanisha kwamba ( $A' \cap C' \subseteq A \cap C'$ ) NA ( $B' \cap C' \subseteq A \cap C'$ ).
$A' \cap C' \subseteq A \cap C'$ ni kweli tu ikiwa $A' \subseteq A$ , ambayo ni kweli tu ikiwa $A = \emptyset$ .
$B' \cap C' \subseteq A \cap C'$ ni kweli tu ikiwa $B' \subseteq A$ .
Kwa ujumla, usemi huu sio kweli.
Kwa mfano, acha $U=\{1,2,3\}$ , $A=\{1\}$ , $B=\{2\}$ , $C=\{3\}$ .
$A \cap B = \emptyset$ , $(A \cap B)' = U = \{1,2,3\}$ .
$(A \cap B)' - C = U - \{3\} = \{1,2\}$ .
$A - C = \{1\} - \{3\} = \{1\}$ .
Hapa, $\{1,2\} \not\subseteq \{1\}$ .
Kwa hiyo, usemi $[(A \cap B)' - C] \subseteq A - C$ sio kweli kwa ujumla.

e) $(A \cap C)' \cap (C \cap B)' = \emptyset$
Tumia Sheria ya De Morgan.
$(A' \cup C') \cap (C' \cup B')$
Tumia sheria ya usambazaji au factor out $C'$ .
$C' \cup (A' \cap B')$
Ili usemi huu uwe sawa na $\emptyset$ , inamaanisha $C' = \emptyset$ NA $A' \cap B' = \emptyset$ .
Hii inamaanisha $C = U$ NA $A' \cap B' = \emptyset$ .
Hii sio kweli kwa seti zote za A, B, na C.
Kwa mfano, acha $U=\{1,2,3\}$ , $A=\{1\}$ , $B=\{2\}$ , $C=\{3\}$ .
$(A \cap C)' = \emptyset' = U = \{1,2,3\}$ .
$(C \cap B)' = \emptyset' = U = \{1,2,3\}$ .
$(A \cap C)' \cap (C \cap B)' = U \cap U = U$ .
Kwa kuwa $U \neq \emptyset$ , usemi $(A \cap C)' \cap (C \cap B)' = \emptyset$ sio kweli kwa ujumla.

f) $(B \cap A') \cup (C - A) = (B \cup C) \cap A'$
Badilisha tofauti ya seti ( $C - A$ ) kuwa makutano na kikamilisho ( $C \cap A'$ ).
$(B \cap A') \cup (C \cap A')$
Tumia sheria ya usambazaji (distributive law) kwa kutoa $A'$ kama kigezo cha kawaida.
$(B \cup C) \cap A'$
Hivyo, $(B \cap A') \cup (C - A) = (B \cup C) \cap A'$ imethibitishwa.

g) $A \cap B' \subseteq A$
Kwa ufafanuzi wa makutano, $A \cap B'$ ina vipengele vyote vilivyo katika $A$ na pia katika $B'$ .
Ikiwa kipengele $x$ kipo katika $A \cap B'$ , basi kwa ufafanuzi wa makutano, $x$ lazima iwe katika $A$ .
Hivyo, $A \cap B' \subseteq A$ imethibitishwa.

h) $(B \cap C)' \cup (B' \cup C') = B \cap C$
Tumia Sheria ya De Morgan kwa $(B \cap C)'$ .
$(B' \cup C') \cup (B' \cup C')$
Muungano wa seti mbili zinazofanana ni seti yenyewe.
$B' \cup C'$
Usemi unakuwa $B' \cup C' = B \cap C$ .
Hii sio kweli kwa ujumla. Kwa mfano, acha $U=\{1,2,3\}$ , $B=\{1\}$ , $C=\{2\}$ .
$B' = \{2,3\}$ , $C' = \{1,3\}$ .
$B' \cup C' = \{1,2,3\} = U$ .
$B \cap C = \emptyset$ .
Kwa kuwa $U \neq \emptyset$ , usemi $(B \cap C)' \cup (B' \cup C') = B \cap C$ sio kweli kwa ujumla.

i) $(A \cap B \cap C)' = A' \cup B' \cup C'$
Hii ni Sheria ya De Morgan kwa makutano ya seti tatu.
Kwa ufafanuzi, kikamilisho cha makutano ya seti ni muungano wa vikamilisho vya seti hizo.
Acha $x \in (A \cap B \cap C)'$ .
Hii inamaanisha $x \notin (A \cap B \cap C)$ .
Hivyo, $x \notin A$ AU $x \notin B$ AU $x \notin C$ .
Hii inamaanisha $x \in A'$ AU $x \in B'$ AU $x \in C'$ .
Hivyo, $x \in A' \cup B' \cup C'$ .
Kwa hiyo, $(A \cap B \cap C)' = A' \cup B' \cup C'$ imethibitishwa.

Swali la 14:
Tunapewa data ya wavulana wanaocheza michezo mitatu: Kriketi (C), Hoki (H), na Mpira wa Kikapu (B).
Jumla ya wavulana $N = 880$ .
$n(C) = 224$
$n(H) = 240$
$n(B) = 336$
$n(B \cap H) = 64$
$n(C \cap B) = 80$
$n(C \cap H) = 40$
$n(C \cap H \cap B) = 24$
Kokotoa idadi ya wavulana wanaocheza angalau mchezo mmoja kwa kutumia kanuni ya ujumuishaji na kutengwa.
$n(C \cup H \cup B) = n(C) + n(H) + n(B) - n(C \cap H) - n(C \cap B) - n(B \cap H) + n(C \cap H \cap B)$ $n(C \cup H \cup B) = 224 + 240 + 336 - 40 - 80 - 64 + 24$ $n(C \cup H \cup B) = 800 - 184 + 24$ $n(C \cup H \cup B) = 616 + 24 = 640$
a) hawachezi mchezo wowote
Idadi ya wavulana wasiocheza mchezo wowote ni jumla ya wavulana ukitoa wale wanaocheza angalau mchezo mmoja.
$n(\text{hakuna mchezo}) = N - n(C \cup H \cup B) = 880 - 640 = 240$
Idadi ya wavulana wasiocheza mchezo wowote ni $\boxed{240}$ .

b) wanacheza mchezo mmoja tu
Kokotoa idadi ya wanaocheza mchezo mmoja tu.
$n(C \text{ pekee}) = n(C) - n(C \cap H) - n(C \cap B) + n(C \cap H \cap B)$
$n(C \text{ pekee}) = 224 - 40 - 80 + 24 = 224 - 120 + 24 = 104 + 24 = 128$
$n(H \text{ pekee}) = n(H) - n(C \cap H) - n(B \cap H) + n(C \cap H \cap B)$
$n(H \text{ pekee}) = 240 - 40 - 64 + 24 = 240 - 104 + 24 = 136 + 24 = 160$
$n(B \text{ pekee}) = n(B) - n(C \cap B) - n(B \cap H) + n(C \cap H \cap B)$
$n(B \text{ pekee}) = 336 - 80 - 64 + 24 = 336 - 144 + 24 = 192 + 24 = 216$
Jumla ya wanaocheza mchezo mmoja tu:
$128 + 160 + 216 = 504$
Idadi ya wavulana wanaocheza mchezo mmoja tu ni $\boxed{504}$ .

c) wanacheza kriketi au hoki lakini si mpira wa kikapu
Hii inamaanisha $n((C \cup H) \setminus B)$ .
$n((C \cup H) \setminus B) = n(C \cup H) - n((C \cup H) \cap B)$
Kwanza, $n(C \cup H) = n(C) + n(H) - n(C \cap H) = 224 + 240 - 40 = 464 - 40 = 424$ .
Pili, $n((C \cup H) \cap B) = n((C \cap B) \cup (H \cap B))$ .
$n((C \cap B) \cup (H \cap B)) = n(C \cap B) + n(H \cap B) - n(C \cap B \cap H \cap B)$ $n((C \cap B) \cup (H \cap B)) = n(C \cap B) + n(H \cap B) - n(C \cap B \cap H)$ $n((C \cap B) \cup (H \cap B)) = 80 + 64 - 24 = 144 - 24 = 120$
Sasa, toa:
$n((C \cup H) \setminus B) = 424 - 120 = 304$
Idadi ya wavulana wanaocheza kriketi au hoki lakini si mpira wa kikapu ni $\boxed{304}$ .

d) wanacheza mpira wa kikapu na hoki lakini si kriketi
Hii inamaanisha $n((B \cap H) \setminus C)$ .
$n((B \cap H) \setminus C) = n(B \cap H) - n(B \cap H \cap C)$ $n((B \cap H) \setminus C) = 64 - 24 = 40$
Idadi ya wavulana wanaocheza mpira wa kikapu na hoki lakini si kriketi ni $\boxed{40}$ .

Swali la 15:
Jumla ya wanafunzi = 15 wavulana + 15 wasichana = 30.
$n(S) = 20$ (Sayansi)
$n(M) = 14$ (Hisabati)

Kwa wavulana (B):
$n(S_B) = 10$
$n(M_B) = 10$
$n(S_B \cap M_B) = 8$
Wavulana wanaosoma angalau somo moja: $n(S_B \cup M_B) = n(S_B) + n(M_B) - n(S_B \cap M_B) = 10 + 10 - 8 = 12$ .
Wavulana wasiosoma somo lolote: $15 - 12 = 3$ .

Kwa wasichana (G):
Jumla ya wasichana = 15.
Wasichana wasiosoma somo lolote: $n(S'_G \cap M'_G) = 4$ .
Wasichana wanaosoma angalau somo moja: $n(S_G \cup M_G) = 15 - 4 = 11$ .
Kokotoa idadi ya wasichana wanaosoma Sayansi na Hisabati.
$n(S_G) = n(S) - n(S_B) = 20 - 10 = 10$ .
$n(M_G) = n(M) - n(M_B) = 14 - 10 = 4$ .
Kwa wasichana: $n(S_G \cup M_G) = n(S_G) + n(M_G) - n(S_G \cap M_G)$
$11 = 10 + 4 - n(S_G \cap M_G)$
$11 = 14 - n(S_G \cap M_G)$
$n(S_G \cap M_G) = 14 - 11 = 3$ .

a) Sayansi na Hisabati zote mbili
Jumla ya wanafunzi wanaosoma Sayansi na Hisabati zote mbili.
$n(S \cap M) = n(S_B \cap M_B) + n(S_G \cap M_G) = 8 + 3 = 11$
Idadi ya wanafunzi wanaosoma Sayansi na Hisabati zote mbili ni $\boxed{11}$ .

b) Hisabati lakini si Sayansi
Idadi ya wanafunzi wanaosoma Hisabati lakini si Sayansi.
$n(M \setminus S) = n(M) - n(S \cap M) = 14 - 11 = 3$
Idadi ya wanafunzi wanaosoma Hisabati lakini si Sayansi ni $\boxed{3}$ .

c) somo moja tu
Idadi ya wanafunzi wanaosoma somo moja tu.
Kwanza, kokotoa jumla ya wanafunzi wanaosoma angalau somo moja:
$n(S \cup M) = n(S) + n(M) - n(S \cap M) = 20 + 14 - 11 = 23$
Wanafunzi wanaosoma somo moja tu ni $n(S \cup M) - n(S \cap M)$ .
$n(\text{somo moja tu}) = 23 - 11 = 12$
Idadi ya wanafunzi wanaosoma somo moja tu ni $\boxed{12}$ .

d) hakuna somo lolote
Idadi ya wanafunzi wasiosoma somo lolote.
$n(\text{hakuna somo}) = \text{Jumla ya wanafunzi} - n(S \cup M) = 30 - 23 = 7$
Idadi ya wanafunzi wasiosoma somo lolote ni $\boxed{7}$ .

Swali la 16:
Swali hili linaonekana kukatika na halina sehemu ya kuuliza. Nitatoa mahesabu ya kawaida yanayohusiana na data iliyotolewa.
Jumla ya wanafunzi = 100.
$n(S) = 45$ (Kihispania)
$n(F) = 28$ (Kifaransa)
$n(C) = 22$ (Kichina)
$n(S \cap F) = 12$ (Kihispania na Kifaransa)
$n(S \cap C) = 8$ (Kihispania na Kichina)
$n(F \cap C) = 5$ (Kifaransa na Kichina)
$n(S \cap F \cap C) = 3$ (lugha zote tatu)
Kokotoa idadi ya wanafunzi wanaosoma angalau lugha moja.
$n(S \cup F \cup C) = n(S) + n(F) + n(C) - n(S \cap F) - n(S \cap C) - n(F \cap C) + n(S \cap F \cap C)$ $n(S \cup F \cup C) = 45 + 28 + 22 - 12 - 8 - 5 + 3$ $n(S \cup F \cup C) = 95 - 25 + 3 = 70 + 3 = 73$
Idadi ya wanafunzi wanaosoma angalau lugha moja ni $\boxed{73}$ .
Kokotoa idadi ya wanafunzi wasiosoma lugha yoyote.
$n(\text{hakuna lugha}) = \text{Jumla ya wanafunzi} - n(S \cup F \cup C) = 100 - 73 = 27$
Idadi ya wanafunzi wasiosoma lugha yoyote ni $\boxed{27}$ .

If A, B, and C are any three sets, prove that: A ∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) ⊆ (A∪B)∩(A∪C)

Step-by-step solution

Tumia Sheria ya De Morgan kwa (A∪B)′(A \cup B)'(A∪B)′.

Badilisha hii kwenye usemi wa awali.

Tumia sheria ya ushirika (associative law) na sheria ya kubadilishana (commutative law).

Tunajua kuwa A∩A′=∅A \cap A' = \emptysetA∩A′=∅ (seti tupu).

Makutano ya seti tupu na seti yoyote ni seti tupu.

Andika fomula ya jumla ya idadi ya vipengele katika muungano wa seti tatu.

Tumia masharti uliyopewa

Badilisha masharti haya kwenye fomula ya jumla.

Rahisisha usemi.

Fomula ya tofauti ya ulinganifu (symmetric difference) ni AΔB=(A∖B)∪(B∖A)A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)AΔB=(A∖B)∪(B∖A).

Seti yoyote ikitoa yenyewe ni seti tupu.

Muungano wa seti tupu na seti tupu ni seti tupu.

Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu.

Seti BBB ikitoa seti ya jumla UUU ni seti tupu.

Muungano wa seti tupu na B′B'B′ ni B′B'B′.

Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu.

Seti BBB ikitoa seti tupu ni BBB.

Muungano wa BBB na seti tupu ni BBB.

Tumia fomula ya tofauti ya ulinganifu.

Seti BBB ikitoa kikamilisho chake B′B'B′ ni BBB yenyewe.

Muungano wa BBB na B′B'B′ ni seti ya jumla UUU.

Hii ni sheria ya usambazaji (distributive law) ya makutano juu ya muungano.

Ili kuthibitisha X⊆YX \subseteq YX⊆Y, tunahitaji kuonyesha kwamba ikiwa x∈Xx \in Xx∈X, basi x∈Yx \in Yx∈Y.

Tumia sheria ya usambazaji ya mantiki.

Hivyo, x∈(A∩B)∪(A∩C)x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)x∈(A∩B)∪(A∩C).

Hii ni sheria ya usambazaji ya muungano juu ya makutano.

Acha x∈A∪(B∩C)x \in A \cup (B \cap C)x∈A∪(B∩C).

Tumia sheria ya usambazaji ya mantiki.

Hivyo, x∈(A∪B)∩(A∪C)x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)x∈(A∪B)∩(A∪C).

Tunajua kuwa U∩A=AU \cap A = AU∩A=A.

Kwa ufafanuzi wa muungano, seti AAA daima ni subset ya muungano wa AAA na seti nyingine yoyote.

Ikiwa x∈Ax \in Ax∈A, basi xxx lazima iwe katika A∪B∪CA \cup B \cup CA∪B∪C.

Badilisha tofauti ya seti (X−YX - YX−Y) kuwa makutano na kikamilisho (X∩Y′X \cap Y'X∩Y′).

Tumia Sheria ya De Morgan kwa (A∩B)′(A \cap B)'(A∩B)′.

Tumia sheria ya usambazaji kwa upande wa kushoto.

Ili usemi huu uwe kweli, kila kipengele katika (A′∩C′)∪(B′∩C′)(A' \cap C') \cup (B' \cap C')(A′∩C′)∪(B′∩C′) lazima kiwe katika A∩C′A \cap C'A∩C′.

Tumia Sheria ya De Morgan.

Tumia sheria ya usambazaji au factor out C′C'C′.

Ili usemi huu uwe sawa na ∅\emptyset∅, inamaanisha C′=∅C' = \emptysetC′=∅ NA A′∩B′=∅A' \cap B' = \emptysetA′∩B′=∅.

Badilisha tofauti ya seti (C−AC - AC−A) kuwa makutano na kikamilisho (C∩A′C \cap A'C∩A′).

Tumia sheria ya usambazaji (distributive law) kwa kutoa A′A'A′ kama kigezo cha kawaida.

Kwa ufafanuzi wa makutano, A∩B′A \cap B'A∩B′ ina vipengele vyote vilivyo katika AAA na pia katika B′B'B′.

Ikiwa kipengele xxx kipo katika A∩B′A \cap B'A∩B′, basi kwa ufafanuzi wa makutano, xxx lazima iwe katika AAA.

Tumia Sheria ya De Morgan kwa (B∩C)′(B \cap C)'(B∩C)′.

Muungano wa seti mbili zinazofanana ni seti yenyewe.

Usemi unakuwa B′∪C′=B∩CB' \cup C' = B \cap CB′∪C′=B∩C.

Hii ni Sheria ya De Morgan kwa makutano ya seti tatu.

Kwa ufafanuzi, kikamilisho cha makutano ya seti ni muungano wa vikamilisho vya seti hizo.

Hii inamaanisha x∈A′x \in A'x∈A′ AU x∈B′x \in B'x∈B′ AU x∈C′x \in C'x∈C′.

Kokotoa idadi ya wavulana wanaocheza angalau mchezo mmoja kwa kutumia kanuni ya ujumuishaji na kutengwa.

Idadi ya wavulana wasiocheza mchezo wowote ni jumla ya wavulana ukitoa wale wanaocheza angalau mchezo mmoja.

Kokotoa idadi ya wanaocheza mchezo mmoja tu.

Hii inamaanisha n((C∪H)∖B)n((C \cup H) \setminus B)n((C∪H)∖B).

Hii inamaanisha n((B∩H)∖C)n((B \cap H) \setminus C)n((B∩H)∖C).

Kokotoa idadi ya wasichana wanaosoma Sayansi na Hisabati.

Jumla ya wanafunzi wanaosoma Sayansi na Hisabati zote mbili.

Idadi ya wanafunzi wanaosoma Hisabati lakini si Sayansi.

Idadi ya wanafunzi wanaosoma somo moja tu.

Idadi ya wanafunzi wasiosoma somo lolote.

Kokotoa idadi ya wanafunzi wanaosoma angalau lugha moja.

Kokotoa idadi ya wanafunzi wasiosoma lugha yoyote.

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

Tumia Sheria ya De Morgan kwa $(A \cup B)'$ .

Tunajua kuwa $A \cap A' = \emptyset$ (seti tupu).

Fomula ya tofauti ya ulinganifu (symmetric difference) ni $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ .

Seti $B$ ikitoa seti ya jumla $U$ ni seti tupu.

Muungano wa seti tupu na $B'$ ni $B'$ .

Seti $B$ ikitoa seti tupu ni $B$ .

Muungano wa $B$ na seti tupu ni $B$ .

Seti $B$ ikitoa kikamilisho chake $B'$ ni $B$ yenyewe.

Muungano wa $B$ na $B'$ ni seti ya jumla $U$ .

Ili kuthibitisha $X \subseteq Y$ , tunahitaji kuonyesha kwamba ikiwa $x \in X$ , basi $x \in Y$ .

Hivyo, $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Acha $x \in A \cup (B \cap C)$ .

Hivyo, $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .

Tunajua kuwa $U \cap A = A$ .

Kwa ufafanuzi wa muungano, seti $A$ daima ni subset ya muungano wa $A$ na seti nyingine yoyote.

Ikiwa $x \in A$ , basi $x$ lazima iwe katika $A \cup B \cup C$ .

Badilisha tofauti ya seti ( $X - Y$ ) kuwa makutano na kikamilisho ( $X \cap Y'$ ).

Tumia Sheria ya De Morgan kwa $(A \cap B)'$ .

Ili usemi huu uwe kweli, kila kipengele katika $(A' \cap C') \cup (B' \cap C')$ lazima kiwe katika $A \cap C'$ .

Tumia sheria ya usambazaji au factor out $C'$ .

Ili usemi huu uwe sawa na $\emptyset$ , inamaanisha $C' = \emptyset$ NA $A' \cap B' = \emptyset$ .

Badilisha tofauti ya seti ( $C - A$ ) kuwa makutano na kikamilisho ( $C \cap A'$ ).

Tumia sheria ya usambazaji (distributive law) kwa kutoa $A'$ kama kigezo cha kawaida.

Kwa ufafanuzi wa makutano, $A \cap B'$ ina vipengele vyote vilivyo katika $A$ na pia katika $B'$ .

Ikiwa kipengele $x$ kipo katika $A \cap B'$ , basi kwa ufafanuzi wa makutano, $x$ lazima iwe katika $A$ .

Tumia Sheria ya De Morgan kwa $(B \cap C)'$ .

Usemi unakuwa $B' \cup C' = B \cap C$ .

Hii inamaanisha $x \in A'$ AU $x \in B'$ AU $x \in C'$ .

Hii inamaanisha $n((C \cup H) \setminus B)$ .

Hii inamaanisha $n((B \cap H) \setminus C)$ .