If d(s) = s − 2, find d(1) and lim to 0 (3d(s) + d'(s)). Also find dy/dx for y = 1/x + 3 + sqrt(x), y = x sqrt(x) + 2x, and y = x2 sec x.

إليك حل المسائل خطوة بخطوة:

السؤال الأول (أ):
إذا كان $د(س) = س - ٢$.

i) جد قيمة د(١)
نعوض $س=١$ في الدالة:

$$د(١) = ١ - ٢ = \boxed{-١}$$

ii) باستخدام نظريات النهايات جد قيمة $\lim_{س \to ٠} (٣د(س) + د'(س))$
أولاً، نجد المشتقة الأولى للدالة $د(س)$:
$د(س) = س - ٢$
$د'(س) = \frac{د}{د س}(س - ٢) = ١$
الآن، نعوض $د(س)$ و $د'(س)$ في النهاية:

$$\lim_{س \to ٠} (٣د(س) + د'(س)) = \lim_{س \to ٠} (٣(س - ٢) + ١)$$ $$= \lim_{س \to ٠} (٣س - ٦ + ١)$$ $$= \lim_{س \to ٠} (٣س - ٥)$$

نعوض $س=٠$:

$$= ٣(٠) - ٥ = \boxed{-٥}$$

السؤال الثاني (أ):
جد $\frac{د ص}{د س}$ إذا كان:

i) ص = د(س) = $\frac{١}{س} + ٣ + \sqrt{س}$
نكتب الدالة باستخدام الأسس:
$ص = س^{-١} + ٣ + س^{\frac{١}{٢}}$
الآن نشتق كل حد على حدة:

$$\frac{د ص}{د س} = \frac{د}{د س}(س^{-١}) + \frac{د}{د س}(٣) + \frac{د}{د س}(س^{\frac{١}{٢}})$$ $$= (-١)س^{-١-١} + ٠ + \left(\frac{١}{٢}\right)س^{\frac{١}{٢}-١}$$ $$= -س^{-٢} + \frac{١}{٢}س^{-\frac{١}{٢}}$$ $$= \boxed{-\frac{١}{س^٢} + \frac{١}{٢\sqrt{س}}}$$

ii) ص = $س \sqrt{س} + ٢س$
نكتب الدالة باستخدام الأسس:
$ص = س^١ \cdot س^{\frac{١}{٢}} + ٢س = س^{١+\frac{١}{٢}} + ٢س = س^{\frac{٣}{٢}} + ٢س$
الآن نشتق كل حد على حدة:

$$\frac{د ص}{د س} = \frac{د}{د س}(س^{\frac{٣}{٢}}) + \frac{د}{د س}(٢س)$$ $$= \left(\frac{٣}{٢}\right)س^{\frac{٣}{٢}-١} + ٢$$ $$= \frac{٣}{٢}س^{\frac{١}{٢}} + ٢$$ $$= \boxed{\frac{٣}{٢}\sqrt{س} + ٢}$$

iii) ص = $س^٢ \text{ قا س}$
نستخدم قاعدة الضرب للمشتقات: $(uv)' = u'v + uv'$.
نفرض $u = س^٢$ و $v = \text{قا س}$.
إذن $u' = ٢س$ و $v' = \text{قا س ظا س}$.

$$\frac{د ص}{د س} = (٢س)(\text{قا س}) + (س^٢)(\text{قا س ظا س})$$ $$= ٢س \text{ قا س} + س^٢ \text{ قا س ظا س}$$

يمكننا أخذ $س \text{ قا س}$ عامل مشترك:

$$= \boxed{س \text{ قا س} (٢ + س \text{ ظا س})}$$

السؤال (ب):

i) إذا كان ص = $س^٥ + ١$، جد $\frac{د ص}{د س}$ باستخدام المبادئ الأولية.
تعريف المشتقة باستخدام المبادئ الأولية هو:

$$\frac{د ص}{د س} = \lim_{ه \to ٠} \frac{د(س+ه) - د(س)}{ه}$$

حيث $د(س) = س^٥ + ١$.
إذن $د(س+ه) = (س+ه)^٥ + ١$.
نعوض في القانون:

$$\frac{د ص}{د س} = \lim_{ه \to ٠} \frac{((س+ه)^٥ + ١) - (س^٥ + ١)}{ه}$$ $$= \lim_{ه \to ٠} \frac{(س+ه)^٥ - س^٥}{ه}$$

باستخدام مفكوك ذات الحدين $(س+ه)^٥ = س^٥ +