This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
إليك حل المسائل خطوة بخطوة: السؤال الأول (أ): إذا كان د(س) = س - ٢. i) جد قيمة د(١) نعوض س=١ في الدالة: د(١) = ١ - ٢ = -١ ii) باستخدام نظريات النهايات جد قيمة _س ٠ (٣د(س) + د'(س)) أولاً، نجد المشتقة الأولى للدالة د(س): د(س) = س - ٢ د'(س) = (د)/(د س)(س - ٢) = ١ الآن، نعوض د(س) و د'(س) في النهاية: _س ٠ (٣د(س) + د'(س)) = _س ٠ (٣(س - ٢) + ١) = _س ٠ (٣س - ٦ + ١) = _س ٠ (٣س - ٥) نعوض س=٠: = ٣(٠) - ٥ = -٥ السؤال الثاني (أ): جد (د ص)/(د س) إذا كان: i) ص = د(س) = (١)/(س) + ٣ + sqrt(س) نكتب الدالة باستخدام الأسس: ص = س^-١ + ٣ + س^(١)/(٢) الآن نشتق كل حد على حدة: (د ص)/(د س) = (د)/(د س)(س^-١) + (د)/(د س)(٣) + (د)/(د س)(س^(١)/(٢)) = (-١)س^-١-١ + ٠ + ((١)/(٢))س^(١)/(٢)-١ = -س^-٢ + (١)/(٢)س^-(١)/(٢) = -(١)/(س^٢) + (١)/(٢sqrt(س)) ii) ص = س sqrt(س) + ٢س نكتب الدالة باستخدام الأسس: ص = س^١ · س^(١)/(٢) + ٢س = س^١+(١)/(٢) + ٢س = س^(٣)/(٢) + ٢س الآن نشتق كل حد على حدة: (د ص)/(د س) = (د)/(د س)(س^(٣)/(٢)) + (د)/(د س)(٢س) = ((٣)/(٢))س^(٣)/(٢)-١ + ٢ = (٣)/(٢)س^(١)/(٢) + ٢ = (٣)/(٢)sqrt(س) + ٢ iii) ص = س^٢ قا س نستخدم قاعدة الضرب للمشتقات: (uv)' = u'v + uv'. نفرض u = س^٢ و v = قا س. إذن u' = ٢س و v' = قا س ظا س. (د ص)/(د س) = (٢س)(قا س) + (س^٢)(قا س ظا س) = ٢س قا س + س^٢ قا س ظا س يمكننا أخذ س قا س عامل مشترك: = س قا س (٢ + س ظا س) السؤال (ب): i) إذا كان ص = س^٥ + ١، جد (د ص)/(د س) باستخدام المبادئ الأولية. تعريف المشتقة باستخدام المبادئ الأولية هو: (د ص)/(د س) = _ه ٠ (د(س+ه) - د(س))/(ه) حيث د(س) = س^٥ + ١. إذن د(س+ه) = (س+ه)^٥ + ١. نعوض في القانون: (د ص)/(د س) = _ه ٠ (((س+ه)^٥ + ١) - (س^٥ + ١))/(ه) = _ه ٠ ((س+ه)^٥ - س^٥)/(ه) باستخدام مفكوك ذات الحدين $(س+ه)^٥ = س^٥ +