If F = F1i+F2j+F3k be a differentiable vector point function, (x,y,z) be a single valued scalar point function and r = xi+yj+zk, then which of the following is NOT true?
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If F = F1i+F2j+F3k be a differentiable vector point function, (x,y,z) be a single valued scalar point function and r = xi+yj+zk, then which of the following is NOT true?
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(3) curl (curl \phi \vec{F}) = \vec{0}
Step 1: दिए गए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें।
कथन (1): div (curl F)=0
यह एक मानक सदिश सर्वसमिका है। किसी भी अवकलनीय सदिश क्षेत्र F के लिए, उसके कर्ल का डाइवर्जेंस हमेशा शून्य होता है। इसे ∇⋅(∇×F)=0 के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यह कथन सत्य है।
कथन (2): curl (grad ϕ)=0
यह भी एक मानक सदिश सर्वसमिका है। किसी भी दो बार अवकलनीय अदिश क्षेत्र ϕ के लिए, उसके ग्रेडिएंट का कर्ल हमेशा शून्य सदिश होता है। इसे ∇×(∇ϕ)=0 के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यह कथन सत्य है।
कथन (3): curl (curl ϕF)=0
यह कथन दावा करता है कि एक अदिश फलन ϕ और एक सदिश फलन F के गुणनफल के कर्ल का कर्ल शून्य सदिश होता है।
हम जानते हैं कि curl (curl A)=grad(divA)−∇2A।
यदि हम A=ϕF लेते हैं, तो curl (curl ϕF)=grad(div(ϕF))−∇2(ϕF)।
यह सामान्यतः 0 के बराबर नहीं होता है।
उदाहरण के लिए, मान लीजिए ϕ=x और F=yi^।
तब ϕF=xyi^।
curl(ϕF)=∇×(xyi^)=i^∂x∂xyj^∂y∂0k^∂z∂0=k^(∂x∂(0)−∂y∂(xy))=k^(0−x)=−xk^।
अब, curl (curl ϕF)=curl(−xk^)=∇×(−xk^)=i^∂x∂0j^∂y∂0k^∂z∂−x=i^(0−0)−j^(−1−0)+k^(0−0)=j^।
चूंकि j^=0, यह कथन सामान्यतः असत्य है।
कथन (4): ∇2(∣r∣1)=0
यहाँ r=xi^+yj^+zk^ है, इसलिए ∣r∣=x2+y2+z2।
हमें ∣r∣1=(x2+y2+z2)−1/2 का लाप्लासियन ज्ञात करना है।
∂x∂(∣r∣1)=−∣r∣3x।
∂x2∂2(∣r∣1)=∣r∣53x2−∣r∣2।
समरूपता से,
∂y2∂2(∣r∣1)=∣r∣53y2−∣r∣2।
∂z2∂2(∣r∣1)=∣r∣53z2−∣r∣2।
अब, ∇2(∣r∣1)=∂x2∂2(∣r∣1)+∂y2∂2(∣r∣1)+∂z2∂2(∣r∣1)=∣r∣53x2−∣r∣2+∣r∣53y2−∣r∣2+∣r∣53z2−∣r∣2=∣r∣53(x2+y2+z2)−3∣r∣2=∣r∣53∣r∣2−3∣r∣2=∣r∣50=0
यह परिणाम r=0 के लिए मान्य है।
यह कथन सत्य है।
Step 2: असत्य कथन की पहचान करें।
कथन (1), (2) और (4) सत्य हैं। कथन (3) सामान्यतः असत्य है। प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सा कथन सत्य नहीं है।
The final answer is (3)curl(curlϕF)=0.
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दिए गए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें। कथन (1): div (curl F) = 0 यह एक मानक सदिश सर्वसमिका है। किसी भी अवकलनीय सदिश क्षेत्र F के लिए, उसके कर्ल का डाइवर्जेंस हमेशा शून्य होता है। इसे · ( × F) = 0 के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह कथन सत्य है। कथन (2):…
If F = F1i+F2j+F3k be a differentiable vector point function, (x,y,z) be a single valued scalar point function and r = xi+yj+zk, then which of the following is NOT true?
This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिए गए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें। कथन (1): div (curl F) = 0 यह एक मानक सदिश सर्वसमिका है। किसी भी अवकलनीय सदिश क्षेत्र F के लिए, उसके कर्ल का डाइवर्जेंस हमेशा शून्य होता है। इसे · ( × F) = 0 के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह कथन सत्य है। कथन (2): curl (grad ) = 0 यह भी एक मानक सदिश सर्वसमिका है। किसी भी दो बार अवकलनीय अदिश क्षेत्र के लिए, उसके ग्रेडिएंट का कर्ल हमेशा शून्य सदिश होता है। इसे × ( ) = 0 के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह कथन सत्य है। कथन (3): curl (curl F) = 0 यह कथन दावा करता है कि एक अदिश फलन और एक सदिश फलन F के गुणनफल के कर्ल का कर्ल शून्य सदिश होता है। हम जानते हैं कि curl (curl A) = grad (div A) - ^2 A। यदि हम A = F लेते हैं, तो curl (curl F) = grad (div ( F)) - ^2 ( F)। यह सामान्यतः 0 के बराबर नहीं होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए = x और F = yi। तब F = xyi। curl( F) = × (xyi) = | i & j & k \\ ()/( x) & ()/( y) & ()/( z) \\ xy & 0 & 0 | = k(()/( x)(0) - ()/( y)(xy)) = k(0-x) = -xk। अब, curl (curl F) = curl (-xk) = × (-xk) = | i & j & k \\ ()/( x) & ()/( y) & ()/( z) \\ 0 & 0 & -x | = i(0-0) - j(-1-0) + k(0-0) = j। चूंकि j ≠ 0, यह कथन सामान्यतः असत्य है। कथन (4): ^2 ( (1)/(|r)| ) = 0 यहाँ r = xi + yj + zk है, इसलिए |r| = sqrt(x^2+y^2+z^2)। हमें (1)/(|r)| = (x^2+y^2+z^2)^-1/2 का लाप्लासियन ज्ञात करना है। ()/( x) ( (1)/(|r)| ) = -(x)/(|r)|^3। (^2)/( x^2) ( (1)/(|r)| ) = 3x^2 - |r|^2|r|^5। समरूपता से, (^2)/( y^2) ( (1)/(|r)| ) = 3y^2 - |r|^2|r|^5। (^2)/( z^2) ( (1)/(|r)| ) = 3z^2 - |r|^2|r|^5। अब, ^2 ( (1)/(|r)| ) = (^2)/( x^2) ( (1)/(|r)| ) + (^2)/( y^2) ( (1)/(|r)| ) + (^2)/( z^2) ( (1)/(|r)| ) = 3x^2 - |r|^2|r|^5 + 3y^2 - |r|^2|r|^5 + 3z^2 - |r|^2|r|^5 = 3(x^2+y^2+z^2) - 3|r|^2|r|^5 = 3|r|^2 - 3|r|^2|r|^5 = (0)/(|r)|^5 = 0 यह परिणाम r ≠ 0 के लिए मान्य है। यह कथन सत्य है। Step 2: असत्य कथन की पहचान करें। कथन (1), (2) और (4) सत्य हैं। कथन (3) सामान्यतः असत्य है। प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सा कथन सत्य नहीं है। The final answer is (3) curl (curl F) = 0. अगला प्रश्न भेजें 📸
