If F = F1i+F2j+F3k be a differentiable vector point function, (x,y,z) be a single valued scalar point function and r = xi+yj+zk, then which of the following is NOT true?

• कथन (1): $\text{div (curl } \vec{F}) = 0$ यह एक मानक सदिश सर्वसमिका है। किसी भी अवकलनीय सदिश क्षेत्र $\vec{F}$ के लिए, उसके कर्ल का डाइवर्जेंस हमेशा शून्य होता है। इसे $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह कथन सत्य है।

• कथन (2): $\text{curl (grad } \phi) = \vec{0}$ यह भी एक मानक सदिश सर्वसमिका है। किसी भी दो बार अवकलनीय अदिश क्षेत्र $\phi$ के लिए, उसके ग्रेडिएंट का कर्ल हमेशा शून्य सदिश होता है। इसे $\nabla \times (\nabla \phi) = \vec{0}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह कथन सत्य है।

• कथन (3): $\text{curl (curl } \phi \vec{F}) = \vec{0}$ यह कथन दावा करता है कि एक अदिश फलन $\phi$ और एक सदिश फलन $\vec{F}$ के गुणनफल के कर्ल का कर्ल शून्य सदिश होता है। हम जानते हैं कि $\text{curl (curl } \vec{A}) = \text{grad (div } \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A}$। यदि हम $\vec{A} = \phi \vec{F}$ लेते हैं, तो $\text{curl (curl } \phi \vec{F}) = \text{grad (div } (\phi \vec{F})) - \nabla^2 (\phi \vec{F})$। यह सामान्यतः $\vec{0}$ के बराबर नहीं होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $\phi = x$ और $\vec{F} = y\hat{i}$। तब $\phi \vec{F} = xy\hat{i}$। $\text{curl}(\phi \vec{F}) = \nabla \times (xy\hat{i}) = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ xy & 0 & 0 \end{matrix} \right| = \hat{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}(0) - \frac{\partial}{\partial y}(xy)\right) = \hat{k}(0-x) = -x\hat{k}$। अब, $\text{curl (curl } \phi \vec{F}) = \text{curl } (-x\hat{k}) = \nabla \times (-x\hat{k}) = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & -x \end{matrix} \right| = \hat{i}(0-0) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(0-0) = \hat{j}$। चूंकि $\hat{j} \neq \vec{0}$, यह कथन सामान्यतः असत्य है।

• कथन (4): $\nabla^2 \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) = 0$ यहाँ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है, इसलिए $|\vec{r}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$। हमें $\frac{1}{|\vec{r}|} = (x^2+y^2+z^2)^{-1/2}$ का लाप्लासियन ज्ञात करना है। $\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) = -\frac{x}{|\vec{r}|^3}$। $\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) = \frac{3x^2 - |\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5}$। समरूपता से, $\frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) = \frac{3y^2 - |\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5}$। $\frac{\partial^2}{\partial z^2} \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) = \frac{3z^2 - |\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5}$। अब, $\nabla^2 \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right) + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \left( \frac{1}{|\vec{r}|} \right)$

  $$= \frac{3x^2 - |\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5} + \frac{3y^2 - |\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5} + \frac{3z^2 - |\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5}$$ $$= \frac{3(x^2+y^2+z^2) - 3|\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5} = \frac{3|\vec{r}|^2 - 3|\vec{r}|^2}{|\vec{r}|^5} = \frac{0}{|\vec{r}|^5} = 0$$

  यह परिणाम $\vec{r} \neq \vec{0}$ के लिए मान्य है। यह कथन सत्य है।

कथन (1), (2) और (4) सत्य हैं। कथन (3) सामान्यतः असत्य है। प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सा कथन सत्य नहीं है।

The final answer is $\text{(3) curl (curl } \phi \vec{F}) = \vec{0}$.