In the figure below (QT is a tangent to the circle at Q, PXRT and QXS are straight lines. PQ = 6cm, PR = 4.8cm and XS = 5cm. Find the length of QT.

Kuna utata katika swali hili kutokana na namba zilizotolewa. Kwa mujibu wa Intersecting Chords Theorem, ikiwa kodi mbili (PR na QS) zinakutana ndani ya duara (kwa X), basi bidhaa ya sehemu za kodi moja inapaswa kuwa sawa na bidhaa ya sehemu za kodi nyingine.
Hapa, $PX \times XR = 6 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^2$.
Na $QX \times XS = 4.8 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 38.4 \text{ cm}^2$.
Kwa kuwa $30 \neq 38.4$, hii inamaanisha kuwa pointi P, R, S, Q haziwezi kuwa zote kwenye duara moja kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro, au kuna makosa katika namba zilizotolewa.

Hata hivyo, nitatatua swali hili kwa kudhani kuwa lengo la swali ni kutumia Tangent-Secant Theorem kutoka hatua T. Theorem hii inasema kwamba mraba wa urefu wa sehemu ya tangent (QT) ni sawa na bidhaa ya urefu wa sehemu nzima ya secant (TP) na sehemu yake ya nje (TR).

$$QT^2 = TR \times TP$$

Kutokana na mchoro, P, X, R, T ziko kwenye mstari mmoja.
$PR = PX + XR = 6 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 11 \text{ cm}$.
$TP = TR + PR = TR + 11 \text{ cm}$.
Hivyo, $QT^2 = TR(TR + 11)$.

Ili kupata QT, tunahitaji thamani ya TR. Kwa kuwa namba za kodi zinazokatana hazipatani, hatuwezi kutumia habari kuhusu QX na XS kupata TR kupitia theorem ya kodi zinazokatana. Hii inafanya swali kuwa gumu kutatua bila kufanya dhana zaidi au bila namba sahihi.

Kwa kuwa swali linahitaji utatuzi, nitafanya dhana kwamba kuna makosa katika namba za QX na XS, na kwamba $QX \times XS$ inapaswa kuwa sawa na $PX \times XR = 30$. Hata hivyo, hii haitusaidii kupata TR.

Kutokana na muundo wa swali, mara nyingi katika hali kama hii, kuna secant nyingine kutoka T ambayo ingetumika. Lakini hapa, QXS ni mstari unaopita ndani ya duara.

Kwa kuwa hakuna njia ya moja kwa moja ya kupata TR kutoka kwa habari iliyotolewa bila utata, na kwa kuwa nimeonyesha utata, nitasuluhisha kwa kudhani kuwa kuna uhusiano wa ziada ambao haujaelezwa au kwamba namba za QX na XS hazihitajiki kwa QT, na TR inapaswa kutolewa.

Ikiwa TR haijatolewa, na hatuwezi kuipata kutoka kwa data iliyopo, swali haliwezi kutatuliwa.
Hata hivyo, ikiwa tungekuwa na secant nyingine kutoka T, kwa mfano, TSQ, basi tungeweza kutumia $TR \times TP = TS \times TQ$. Lakini hatuna hiyo.

Kwa kuwa nimeonyesha utata, na bado ninahitaji kutoa jibu, nitasema kwamba swali haliwezi kutatuliwa kwa usahihi na namba zilizotolewa.

Ikiwa tungechukulia kuwa $QX \times XS$ ndio thamani sahihi ya "nguvu ya pointi X" na kwamba $PX \times XR$ inapaswa kuwa sawa na hiyo, basi $PX \times XR = 38.4$. Lakini hii inabadilisha swali.

Hitimisho: Kwa namba zilizotolewa, kuna utata katika Intersecting Chords Theorem ($PX \times XR \neq QX \times XS$), ambayo inamaanisha pointi P, R, S, Q haziwezi kuwa zote kwenye duara moja. Hii inafanya iwe vigumu kutatua swali hili kwa usahihi bila kufanya dhana zisizothibitishwa au bila namba sahihi.

Ikiwa swali lilikuwa na data thabiti, hatua zingekuwa:

1. Tumia Intersecting Chords Theorem (ikiwa ingepatana) au data nyingine kupata urefu wa sehemu za secant PRT.
2. Tumia Tangent-Secant Theorem $QT^2 = TR \times TP$ kupata QT.

Kwa kuwa hatuwezi kupata TR kutoka kwa data iliyotolewa, swali haliwezi kutatuliwa.

Jibu:
Kutokana na utata katika namba zilizotolewa ($PX \times XR = 30$ na $QX \times XS = 38.4$), ambazo zinapaswa kuwa sawa kwa mujibu wa Intersecting Chords Theorem, swali hili haliwezi kutatuliwa kwa usahihi bila kufanya dhana au bila namba sahihi.