Calculate the integral: integral (dx)/(xsqrt( x))

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

برای محاسبه انتگرال داده شده، از روش تغییر متغیر استفاده می‌کنیم.

\int \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}

تغییر متغیر مناسب را انتخاب می‌کنیم.
همانطور که در متن اشاره شده، انتخاب $u = \ln x$ مناسب است.
دیفرانسیل $du$ را محاسبه می‌کنیم.
اگر $u = \ln x$ باشد، آنگاه $du = \frac{1}{x} dx$ .
انتگرال را بر حسب $u$ بازنویسی می‌کنیم.
می‌توانیم انتگرال اصلی را به صورت زیر بنویسیم:
$\int \frac{1}{\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{1}{x} dx$
با جایگذاری $u$ و $du$ :
$\int \frac{1}{\sqrt{u}} du$
عبارت زیر انتگرال را به صورت توان بازنویسی می‌کنیم.
$\int u^{-1/2} du$
انتگرال را با استفاده از قاعده توان برای انتگرال‌گیری ( $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ) محاسبه می‌کنیم.
$\frac{u^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C$ $2u^{1/2} + C$ $2\sqrt{u} + C$
متغیر $u$ را به $\ln x$ برمی‌گردانیم.
$2\sqrt{\ln x} + C$

Answer