Step 1: استخدم التعويض المثلثي.
نضع x=4tanθ.
إذن dx=4sec2θdθ.
ونحصل على 16+x2=16+(4tanθ)2=16+16tan2θ=16(1+tan2θ)=16sec2θ=4secθ.
Step 2: عوض في التكامل.
∫(4tanθ)3(4secθ)(4sec2θ)dθ∫64tan3θ⋅16sec3θdθ1024∫tan3θsec3θdθ1024∫tan2θsec2θ(tanθsecθ)dθ
استخدم المتطابقة tan2θ=sec2θ−1:
1024∫(sec2θ−1)sec2θ(tanθsecθ)dθ
Step 3: استخدم التعويض u=secθ.
إذن du=secθtanθdθ.
1024∫(u2−1)u2du1024∫(u4−u2)du
Step 5: ارجع إلى المتغير الأصلي x.
من x=4tanθ, لدينا tanθ=4x.
يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المقابل هو x والضلع المجاور هو 4.
الوتر سيكون x2+42=x2+16.
إذن secθ=الضلعالمجاورالوتر=4x2+16.
1024(51(4x2+16)5−31(4x2+16)3)+C1024(5145(x2+16)5/2−3143(x2+16)3/2)+C1024(511024(x2+16)5/2−3164(x2+16)3/2)+C51(x2+16)5/2−3⋅641024(x2+16)3/2+C51(x2+16)5/2−316(x2+16)3/2+C
يمكننا إخراج عامل مشترك (x2+16)3/2:
(x2+16)3/2(51(x2+16)−316)+C(x2+16)3/2(153(x2+16)−5(16))+C(x2+16)3/2(153x2+48−80)+C\frac{1{15} (3x^2 - 32) (x^2 + 16)^{3/2} + C}
المسألة 11:
أوجد قيمة التكامل:
∫x4x2−1dx
Step 1: استخدم التعويض المثلثي.
نضع x=secθ.
إذن dx=secθtanθdθ.
ونحصل على x2−1=sec2θ−1=tan2θ=tanθ (بافتراض θ في الربع الأول أو الثالث حيث tanθ≥0).
Step 2: عوض في التكامل.
∫sec4θtanθ(secθtanθ)dθ∫sec3θtan2θdθ∫1/cos3θsin2θ/cos2θdθ∫sin2θcosθdθ
Step 3: أوجد التكامل.
استخدم التعويض u=sinθ, إذن du=cosθdθ.
∫u2du=3u3+C3sin3θ+C
Step 4: ارجع إلى المتغير الأصلي x.
من x=secθ, لدينا cosθ=x1.
يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المجاور هو 1 والوتر هو x.
الضلع المقابل سيكون x2−1.
إذن sinθ=الوترالضلعالمقابل=xx2−1.
31(xx2−1)3+C\frac{(x^2 - 1)^{3/2}{3x^3} + C}
المسألة 13:
أوجد قيمة التكامل المحدد:
∫0a(a2+x2)3/2dx,a>0
Step 1: استخدم التعويض المثلثي.
نضع x=atanθ.
إذن dx=asec2θdθ.
ونحصل على (a2+x2)3/2=(a2+(atanθ)2)3/2=(a2+a2tan2θ)3/2=(a2(1+tan2θ))3/2=(a2sec2θ)3/2=(asecθ)3=a3sec3θ.
Step 2: غير حدود التكامل.
عندما x=0, 0=atanθ⟹tanθ=0⟹θ=0.
عندما x=a, a=atanθ⟹tanθ=1⟹θ=4π.
Step 3: عوض في التكامل.
∫0π/4a3sec3θasec2θdθ∫0π/4a21secθ1dθa21∫0π/4cosθdθ
This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
You're on a roll — سأحل المسائل 9 و 11 و 13. المسألة 9: أوجد قيمة التكامل: x^3 sqrt(16 + x^2) \, dx Step 1: استخدم التعويض المثلثي. نضع x = 4 . إذن dx = 4 ^2 \, d. ونحصل على sqrt(16 + x^2) = sqrt(16 + (4 )^2) = sqrt(16 + 16 ^2 ) = sqrt(16(1 + ^2 )) = sqrt(16 ^2 ) = 4 . Step 2: عوض في التكامل. (4 )^3 (4 ) (4 ^2 ) \, d 64 ^3 · 16 ^3 \, d 1024 ^3 ^3 \, d 1024 ^2 ^2 ( ) \, d استخدم المتطابقة ^2 = ^2 - 1: 1024 (^2 - 1) ^2 ( ) \, d Step 3: استخدم التعويض u = . إذن du = \, d. 1024 (u^2 - 1) u^2 \, du 1024 (u^4 - u^2) \, du Step 4: أوجد التكامل. 1024 ( (u^5)/(5) - (u^3)/(3) ) + C 1024 ( (^5 )/(5) - (^3 )/(3) ) + C Step 5: ارجع إلى المتغير الأصلي x. من x = 4 , لدينا = (x)/(4). يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المقابل هو x والضلع المجاور هو 4. الوتر سيكون sqrt(x^2 + 4^2) = sqrt(x^2 + 16). إذن = الوترالضلع المجاور = sqrt(x^2 + 16)4. 1024 ( (1)/(5) ( sqrt(x^2 + 16)4 )^5 - (1)/(3) ( sqrt(x^2 + 16)4 )^3 ) + C 1024 ( (1)/(5) (x^2 + 16)^5/24^5 - (1)/(3) (x^2 + 16)^3/24^3 ) + C 1024 ( (1)/(5) (x^2 + 16)^5/21024 - (1)/(3) (x^2 + 16)^3/264 ) + C (1)/(5) (x^2 + 16)^5/2 - (1024)/(3 · 64) (x^2 + 16)^3/2 + C (1)/(5) (x^2 + 16)^5/2 - (16)/(3) (x^2 + 16)^3/2 + C يمكننا إخراج عامل مشترك (x^2 + 16)^3/2: (x^2 + 16)^3/2 ( (1)/(5) (x^2 + 16) - (16)/(3) ) + C (x^2 + 16)^3/2 ( (3(x^2 + 16) - 5(16))/(15) ) + C (x^2 + 16)^3/2 ( (3x^2 + 48 - 80)/(15) ) + C (1)/(15) (3x^2 - 32) (x^2 + 16)^3/2 + C المسألة 11: أوجد قيمة التكامل: sqrt(x^2 - 1)x^4 \, dx Step 1: استخدم التعويض المثلثي. نضع x = . إذن dx = \, d. ونحصل على sqrt(x^2 - 1) = sqrt(^2 - 1) = sqrt(^2 ) = (بافتراض في الربع الأول أو الثالث حيث 0). Step 2: عوض في التكامل. ( )/(^4 ) ( ) \, d (^2 )/(^3 ) \, d (^2 / ^2 )/(1 / ^3 ) \, d ^2 \, d Step 3: أوجد التكامل. استخدم التعويض u = , إذن du = \, d. u^2 \, du = (u^3)/(3) + C (^3 )/(3) + C Step 4: ارجع إلى المتغير الأصلي x. من x = , لدينا = (1)/(x). يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المجاور هو 1 والوتر هو x. الضلع المقابل سيكون sqrt(x^2 - 1). إذن = الضلع المقابلالوتر = sqrt(x^2 - 1)x. (1)/(3) ( sqrt(x^2 - 1)x )^3 + C (x^2 - 1)^3/23x^3 + C المسألة 13: أوجد قيمة التكامل المحدد: _0^a (dx)/((a^2 + x^2)^3/2), a > 0 Step 1: استخدم التعويض المثلثي. نضع x = a . إذن dx = a ^2 \, d. ونحصل على (a^2 + x^2)^3/2 = (a^2 + (a )^2)^3/2 = (a^2 + a^2 ^2 )^3/2 = (a^2(1 + ^2 ))^3/2 = (a^2 ^2 )^3/2 = (a )^3 = a^3 ^3 . Step 2: غير حدود التكامل. عندما x = 0, 0 = a = 0 = 0. عندما x = a, a = a = 1 = ()/(4). Step 3: عوض في التكامل. _0^/4 (a ^2 \, d)/(a^3 ^3 ) _0^/4 (1)/(a^2) (1)/( ) \, d (1)/(a^2) _0^/4 \, d Step 4: أوجد التكامل. (1)/(a^2) [ ]_0^/4 (1)/(a^2) ((()/(4)) - (0)) (1)/(a^2) ( sqrt(2)2 - 0 ) sqrt(2)2a^2 أرسل لي السؤال التالي 📸
