أوجد قيمة التكامل: integral x3 sqrt(16 + x2) dx

نضع $x = 4 \tan \theta$.
إذن $dx = 4 \sec^2 \theta \, d\theta$.
ونحصل على $\sqrt{16 + x^2} = \sqrt{16 + (4 \tan \theta)^2} = \sqrt{16 + 16 \tan^2 \theta} = \sqrt{16(1 + \tan^2 \theta)} = \sqrt{16 \sec^2 \theta} = 4 \sec \theta$.

استخدم المتطابقة $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$:

إذن $du = \sec \theta \tan \theta \, d\theta$.

من $x = 4 \tan \theta$, لدينا $\tan \theta = \frac{x}{4}$.
يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المقابل هو $x$ والضلع المجاور هو 4.
الوتر سيكون $\sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16}$.
إذن $\sec \theta = \frac{\text{الوتر}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{4}$.

يمكننا إخراج عامل مشترك $(x^2 + 16)^{3/2}$:

المسألة 11:
أوجد قيمة التكامل:

نضع $x = \sec \theta$.
إذن $dx = \sec \theta \tan \theta \, d\theta$.
ونحصل على $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$ (بافتراض $\theta$ في الربع الأول أو الثالث حيث $\tan \theta \ge 0$).

استخدم التعويض $u = \sin \theta$, إذن $du = \cos \theta \, d\theta$.

من $x = \sec \theta$, لدينا $\cos \theta = \frac{1}{x}$.
يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المجاور هو 1 والوتر هو $x$.
الضلع المقابل سيكون $\sqrt{x^2 - 1}$.
إذن $\sin \theta = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$.

المسألة 13:
أوجد قيمة التكامل المحدد:

نضع $x = a \tan \theta$.
إذن $dx = a \sec^2 \theta \, d\theta$.
ونحصل على $(a^2 + x^2)^{3/2} = (a^2 + (a \tan \theta)^2)^{3/2} = (a^2 + a^2 \tan^2 \theta)^{3/2} = (a^2(1 + \tan^2 \theta))^{3/2} = (a^2 \sec^2 \theta)^{3/2} = (a \sec \theta)^3 = a^3 \sec^3 \theta$.

عندما $x = 0$, $0 = a \tan \theta \implies \tan \theta = 0 \implies \theta = 0$.
عندما $x = a$, $a = a \tan \theta \implies \tan \theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{4}$.