Find the inverse of the matrix 4 & -1 \ 3 & 2 hence solve the following simultaneous equations: 4x−y=5, 3x+2y=12

Haya Micah, wacha tuangalie maswali haya ya hisabati.

1. Tafuta kinyume cha matriksi $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ kisha utatue milinganyo ifuatayo ya wakati mmoja:
$4x - y = 5$
$3x + 2y = 12$

• Hatua ya 1: Tafuta kinyume cha matriksi. Matriksi iliyopewa ni $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$. Kwanza, tafuta kigezo (determinant) cha $A$:

  $$\det(A) = (4)(2) - (-1)(3) = 8 - (-3) = 8 + 3 = 11$$

  Kinyume cha matriksi $A^{-1}$ hutolewa na fomula:

  $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

  Hivyo,

  $$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$

• Hatua ya 2: Tatua milinganyo ya wakati mmoja kwa kutumia matriksi kinyume. Milinganyo inaweza kuandikwa katika mfumo wa matriksi kama $AX = B$:

  $$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$$

  Ili kutatua $X$, tunatumia $X = A^{-1}B$:

  $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} (2)(5) + (1)(12) \\ (-3)(5) + (4)(12) \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 10 + 12 \\ -15 + 48 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 22 \\ 33 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{22}{11} \\ \frac{33}{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

  Hivyo, $x=2$ na $y=3$.

  Kinyume cha matriksi ni $\boxed{\frac{1}{11} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}}$ na suluhisho la milinganyo ni $\boxed{x=2, y=3}$.

2. Tafuta kiwango cha riba kwa mwaka ambacho kiasi fulani cha pesa huongezeka mara mbili baada ya kuwekezwa kwa kipindi cha miaka 5, riba ikihesabiwa kila mwaka.

• Hatua ya 1: Andika fomula ya riba ya kiwanja. Fomula ya riba ya kiwanja ni $A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$, ambapo $A$ ni kiasi cha mwisho, $P$ ni kiasi cha awali, $r$ ni kiwango cha riba kwa asilimia, na $n$ ni idadi ya miaka.

• Hatua ya 2: Badilisha maadili yaliyopewa kwenye fomula. Tunajua kuwa kiasi cha pesa huongezeka mara mbili, hivyo $A = 2P$. Kipindi ni miaka 5, hivyo $n=5$.

  $$2P = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^5$$

• Hatua ya 3: Tatua kwa $r$. Gawanya pande zote mbili kwa $P$:

  $$2 = \left(1 + \frac{r}{100}\right)^5$$

  Chukua mzizi wa tano wa pande zote mbili:

  $$\sqrt[5]{2} = 1 + \frac{r}{100}$$ $$1.148698 \approx 1 + \frac{r}{100}$$ $$\frac{r}{100} \approx 1.148698 - 1$$ $$\frac{r}{100} \approx 0.148698$$ $$r \approx 0.148698 \times 100$$ $$r \approx 14.8698\%$$

  Kiwango cha riba kwa mwaka ni $\boxed{14.87\%}$.

3. Pembe tatu PQR ina vipeo P(-3, 2), Q(0, -1) na R(2, -1). Matriksi ya mabadiliko M, hubadilisha pembe tatu PQR kuwa pembe tatu P'Q'R' ambayo vipeo vyake ni P'(-7, 2), Q'(-1, -1) na R'(1, -1). Tafuta M.

• Hatua ya 1: Andika matriksi ya mabadiliko M na vipeo. Acha matriksi ya mabadiliko iwe $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Tunajua kwamba $M \times \text{Vipeo vya awali} = \text{Vipeo vilivyobadilishwa}$.

  $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

• Hatua ya 2: Tumia vipeo P na Q na picha zao P' na Q' kupata $a, b, c, d$. Kutoka Q na Q':

  $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

  Hii inatoa:

  $$-b = -1 \implies b = 1$$ $$-d = -1 \implies d = 1$$

  Kutoka P na P':

  $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}$$

  Badilisha $b=1$ na $d=1$:

  $$\begin{pmatrix} a & 1 \\ c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3a + 2(1) \\ -3c + 2(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \end{pmatrix}$$

  Hii inatoa milinganyo miwili:

  $$-3a + 2 = -7 \implies -3a = -9 \implies a = 3$$ $$-3c + 2 = 2 \implies -3c = 0 \implies c = 0$$

• Hatua ya 3: Andika matriksi M. Hivyo, matriksi ya mabadiliko ni $M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

  Kumbuka: Kuna utofauti katika swali. Matriksi M iliyopatikana kutoka P, Q, P', Q' haibadilishi R(2, -1) kuwa R'(1, -1). Badala yake, $M \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(2) + 1(-1) \\ 0(2) + 1(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$. Tunachukulia kuwa P, Q, P', Q' ndizo sahihi.

  Matriksi M ni $\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$.

4. Katika mchoro hapa chini, VABCD ni piramidi ya kulia kwenye msingi wa mstatili. Nukta O iko wima chini ya kipeo V. AB = 24 cm, BC = 10 cm na VC = 26 cm. Nukta M ni katikati ya BC. Kokotoa pembe kati ya VM na msingi ABCD.

• Hatua ya 1: Tafuta urefu wa OM. Kwa kuwa O ni kituo cha msingi wa mstatili ABCD na M ni katikati ya BC, OM ni nusu ya urefu wa AB.

  $$OM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} (24 \text{ cm}) = 12 \text{ cm}$$

• Hatua ya 2: Tafuta urefu wa OC. Kwanza, tafuta urefu wa diagonal AC ya msingi wa mstatili:

  $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 \text{ cm}$$

  O ni kituo cha msingi, hivyo OC ni nusu ya AC:

  $$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (26 \text{ cm}) = 13 \text{ cm}$$

• Hatua ya 3: Tafuta urefu wa VO (urefu wa piramidi). Katika pembetatu ya kulia VOC, $VO^2 + OC^2 = VC^2$:

  $$VO^2 + 13^2 = 26^2$$ $$VO^2 + 169 = 676$$ $$VO^2 = 676 - 169 = 507$$ $$VO = \sqrt{507} = \sqrt{169 \times 3} = 13\sqrt{3} \text{ cm}$$

• Hatua ya 4: Kokotoa pembe kati ya VM na msingi ABCD ($\angle VMO$). Katika pembetatu ya kulia VOM, tunatumia kazi ya tanjenti:

  $$\tan(\angle VMO) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}} = \frac{VO}{OM}$$ $$\tan(\angle VMO) = \frac{13\sqrt{3}}{12}$$ $$\tan(\angle VMO) \approx \frac{13 \times 1.73205}{12} \approx \frac{22.51665}{12} \approx 1.8763875$$ $$\angle VMO = \arctan(1.8763875)$$ $$\angle VMO \approx 61.93^\circ$$

  Pembe kati ya VM na msingi ABCD ni $\boxed{61.9^\circ}$ (kwa sehemu moja ya desimali).