This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Je vais résoudre les questions restantes de l'épreuve. Exercice 1 (suite) : 2) En déduire la résolution dans R de l'équation x - 15sqrt(x) + 50 = 0. Step 1: Effectuer un changement de variable. Soit y = sqrt(x). Pour que sqrt(x) soit défini, il faut que x 0. De plus, y doit être positif, donc y 0. En élevant au carré, on obtient y^2 = x. L'équation devient alors y^2 - 15y + 50 = 0. Step 2: Résoudre l'équation transformée. Cette équation est identique à celle de la question 1), x^2 - 15x + 50 = 0, dont les solutions étaient x_1 = 5 et x_2 = 10. Donc, les solutions pour y sont y_1 = 5 et y_2 = 10. Step 3: Revenir à la variable d'origine x. Nous avons y = sqrt(x). Pour y_1 = 5: sqrt(x) = 5 x = 5^2 = 25 Pour y_2 = 10: sqrt(x) = 10 x = 10^2 = 100 Les deux valeurs x=25 et x=100 sont positives, donc elles sont valides. Step 4: Écrire l'ensemble des solutions. L'ensemble des solutions de l'équation x - 15sqrt(x) + 50 = 0 est S = \25 ; 100\. Les solutions sont x_1 = 25 et x_2 = 100. 3) Résoudre dans R^2 le système d'équations suivant : x + y = 15 \\ xy = 50 Step 1: Reconnaître la relation entre les solutions et les coefficients d'une équation quadratique. Ce système indique que x et y sont les deux nombres dont la somme est 15 et le produit est 50. Ces deux nombres sont les racines d'une équation quadratique de la forme t^2 - St + P = 0, où S est la somme et P est le produit. Ici, S = 15 et P = 50. L'équation quadratique est donc t^2 - 15t + 50 = 0. Step 2: Résoudre l'équation quadratique. Cette équation est identique à celle de la question 1), x^2 - 15x + 50 = 0, dont les solutions étaient x_1 = 5 et x_2 = 10. Donc, les racines de t^2 - 15t + 50 = 0 sont t_1 = 5 et t_2 = 10. Step 3: Déterminer les paires de solutions (x, y). Les solutions du système sont les paires (x, y) formées par ces racines. Si x=5, alors y=10. Si x=10, alors y=5. Step 4: Écrire l'ensemble des solutions. L'ensemble des solutions du système est S = \(5 ; 10) ; (10 ; 5)\. Les solutions du système sont (x, y) = (5, 10) ou (x, y) = (10, 5). --- Exercice 2 : Soit P(x) = x^3 - 10x^2 + 23x - 14. 1) Calculer P(1). Que peut-on en déduire ? Step 1: Calculer la valeur de P(1). Substituons x=1 dans l'expression de P(x): P(1) = (1)^3 - 10(1)^2 + 23(1) - 14 P(1) = 1 - 10 + 23 - 14 P(1) = 24 - 24 P(1) = 0 Step 2: En déduire une propriété du polynôme. Puisque P(1) = 0, cela signifie que x=1 est une racine du polynôme P(x). Par conséquent, (x-1) est un facteur de P(x). On en déduit que x=1 est une racine de P(x), et donc (x-1) est un facteur de P(x). 2) Déterminer les réels a, b et c tels que P(x) = (x-1)(ax^2 + bx + c). Step 1: Développer l'expression (x-1)(ax^2 + bx + c). (x-1)(ax^2 + bx + c) = x(ax^2 + bx + c) - 1(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c = ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c Step 2: Identifier les coefficients avec ceux de P(x). Nous avons P(x) = x^3 - 10x^2 + 23x - 14. En comparant les coefficients des termes de même degré : • Coefficient de x^3: a = 1 • Coefficient de x^2: b-a = -10 En substituant a=1: b-1 = -10 b = -9 • Coefficient de x: c-b = 23 En substituant b=-9: c-(-9) = 23 c+9 = 23 c = 14 • Terme constant: -c = -14 Ceci confirme c = 14. Les réels sont a=1, b=-9, c=14. Ainsi, P(x) = (x-1)(x^2 - 9x + 14). 3) Résoudre dans R l'équation P(x) = 0. Step 1: Utiliser la forme factorisée de P(x). Nous avons P(x) = (x-1)(x^2 - 9x + 14). L'équation P(x) = 0 devient donc (x-1)(x^2 - 9x + 14) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. Donc, soit x-1 = 0, soit x^2 - 9x + 14 = 0. Step 2: Résoudre la première partie de l'équation. x-1 = 0 x = 1 Step 3: Résoudre la deuxième partie de l'équation quadratique x^2 - 9x + 14 = 0. Utilisons le discriminant . Ici, a=1, b=-9, c=14. = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(1)(14) = 81 - 56 = 25 Puisque > 0, il y a deux solutions réelles distinctes : x = -b ± sqrt()2a = -(-9) ± sqrt(25)2(1) = (9 ± 5)/(2) x_1 = (9 - 5)/(2) = (4)/(2) = 2 x_2 = (9 + 5)/(2) = (14)/(2) = 7 Step 4: Écrire l'ensemble des solutions. Les solutions de l'équation P(x) = 0 sont 1, 2 et 7. L'ensemble des solutions est S = \1 ; 2 ; 7\. Les solutions de l'équation P(x) = 0 sont x=1, x=2 et x=7. Last free one today — make it count tomorrow, or type /upgrade for unlimited.