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Soit $y = \sqrt{x}$. Pour que $\sqrt{x}$ soit défini, il faut que $x \ge 0$. De plus, $y$ doit être positif, donc $y \ge 0$.
En élevant au carré, on obtient $y^2 = x$.
L'équation devient alors $y^2 - 15y + 50 = 0$.

Cette équation est identique à celle de la question 1), $x^2 - 15x + 50 = 0$, dont les solutions étaient $x_1 = 5$ et $x_2 = 10$.
Donc, les solutions pour $y$ sont $y_1 = 5$ et $y_2 = 10$.

Nous avons $y = \sqrt{x}$.
Pour $y_1 = 5$:

Pour $y_2 = 10$:

Les deux valeurs $x=25$ et $x=100$ sont positives, donc elles sont valides.

L'ensemble des solutions de l'équation $x - 15\sqrt{x} + 50 = 0$ est $S = \{25 ; 100\}$.

Les solutions sont $\boxed{x_1 = 25 \text{ et } x_2 = 100}$.

3) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système d'équations suivant :

Ce système indique que $x$ et $y$ sont les deux nombres dont la somme est 15 et le produit est 50. Ces deux nombres sont les racines d'une équation quadratique de la forme $t^2 - St + P = 0$, où $S$ est la somme et $P$ est le produit.
Ici, $S = 15$ et $P = 50$.
L'équation quadratique est donc $t^2 - 15t + 50 = 0$.

Cette équation est identique à celle de la question 1), $x^2 - 15x + 50 = 0$, dont les solutions étaient $x_1 = 5$ et $x_2 = 10$.
Donc, les racines de $t^2 - 15t + 50 = 0$ sont $t_1 = 5$ et $t_2 = 10$.

Les solutions du système sont les paires $(x, y)$ formées par ces racines.
Si $x=5$, alors $y=10$.
Si $x=10$, alors $y=5$.

L'ensemble des solutions du système est $S = \{(5 ; 10) ; (10 ; 5)\}$.

Les solutions du système sont $\boxed{(x, y) = (5, 10) \text{ ou } (x, y) = (10, 5)}$.

Substituons $x=1$ dans l'expression de $P(x)$:

Puisque $P(1) = 0$, cela signifie que $x=1$ est une racine du polynôme $P(x)$. Par conséquent, $(x-1)$ est un facteur de $P(x)$.

On en déduit que $\boxed{x=1 \text{ est une racine de } P(x), \text{ et donc } (x-1) \text{ est un facteur de } P(x)}$.

2) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(x) = (x-1)(ax^2 + bx + c)$.

Nous avons $P(x) = x^3 - 10x^2 + 23x - 14$.
En comparant les coefficients des termes de même degré :

• Coefficient de $x^3$: $a = 1$
• Coefficient de $x^2$: $b-a = -10$ En substituant $a=1$: $b-1 = -10 \implies b = -9$
• Coefficient de $x$: $c-b = 23$ En substituant $b=-9$: $c-(-9) = 23 \implies c+9 = 23 \implies c = 14$
• Terme constant: $-c = -14$ Ceci confirme $c = 14$.

Les réels sont $\boxed{a=1, b=-9, c=14}$.
Ainsi, $P(x) = (x-1)(x^2 - 9x + 14)$.

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$.

Nous avons $P(x) = (x-1)(x^2 - 9x + 14)$.
L'équation $P(x) = 0$ devient donc $(x-1)(x^2 - 9x + 14) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
Donc, soit $x-1 = 0$, soit $x^2 - 9x + 14 = 0$.

Utilisons le discriminant $\Delta$. Ici, $a=1$, $b=-9$, $c=14$.

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :

Les solutions de l'équation $P(x) = 0$ sont 1, 2 et 7.
L'ensemble des solutions est $S = \{1 ; 2 ; 7\}$.

Les solutions de l'équation $P(x) = 0$ sont $\boxed{x=1, x=2 \text{ et } x=7}$.