Determine whether the function f is continuous at x=2. Find lim f(x). Find lim x->2 f(x). Determine whether the function f is continuous at x=2.

Selon la définition, si $x=2$, $f(x)=1$.

La valeur de $f(2)$ est $\boxed{1}$.

Pour $x < 2$, $f(x) = x-3$.

Pour $x > 2$, $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{2-x}$.
Factorisons le numérateur $x^2 - 3x + 2$. Les racines sont $x=1$ et $x=2$, donc $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Pour $x \neq 2$, on peut simplifier $(x-2)$.

Puisque $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -1$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -1$, la limite existe et est égale à $-1$.

La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 2 est $\boxed{-1}$.

Une fonction est continue en un point $a$ si :

1. $f(a)$ est défini. (De la partie b), $f(2)=1$, donc c'est défini.)
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe. (De la partie c), $\lim_{x \to 2} f(x) = -1$, donc la limite existe.)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. (Ici, $\lim_{x \to 2} f(x) = -1$ et $f(2) = 1$.)

Puisque $\lim_{x \to 2} f(x) = -1 \neq f(2) = 1$, la troisième condition n'est pas remplie.
La fonction $f$ n'est pas continue en $x=2$.

Utilisons la règle du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$. Soit $u=c$ et $v=3+c$.
$u'=1$, $v'=1$.

Réécrivons $R'(c) = 3(3+c)^{-2}$.

Pour trouver un point d'inflexion, nous devons trouver $c$ tel que $R''(c)=0$ ou $R''(c)$ est indéfini et qu'il y ait un changement de concavité.
L'équation $\frac{-6}{(3+c)^3} = 0$ n'a pas de solution car le numérateur est une constante non nulle.
La deuxième dérivée est indéfinie lorsque $3+c=0$, c'est-à-dire $c=-3$. Cependant, la concentration médicamenteuse $c$ doit être non négative ($c \ge 0$).
Pour $c \ge 0$, le dénominateur $(3+c)^3$ est toujours positif. Par conséquent, $R''(c) = \frac{-6}{(3+c)^3}$ est toujours négatif pour $c \ge 0$.
Puisque la deuxième dérivée est toujours négative pour $c \ge 0$, la fonction $R(c)$ est toujours concave vers le bas et ne change jamais de concavité.
Il n'y a pas de point d'inflexion pour $c \ge 0$.

Il n'y a aucun point d'inflexion pour une concentration médicamenteuse $c \ge 0$.

Ceci est donné par $h(D)$.

Ceci est donné par $g(h(D))$.

Simplifions cette expression :

Ceci est donné par $f(g(h(D)))$.

La fonction qui relie la dose orale $D$ au nombre de bactéries survivantes, $N(D)$, est :