Justifier que la probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est de 0,9298. À l'aide d'une production argumentée, indique si le Directeur peut être rassuré ou non.

Absolument ! Mes excuses pour la confusion précédente. Voici la correction de l'exercice 6 de probabilité. Exercice 6 : Probabilités Un centre de données est équipé de 10 serveurs. La probabilité qu'un serveur tombe en panne est q = 0,1. Par conséquent, la probabilité qu'un serveur fonctionne correctement est p = 1 - q = 1 - 0,1 = 0,9. Les serveurs fonctionnent indépendamment. Le système est opérationnel si au moins 8 serveurs fonctionnent correctement. 1. Justifier que la probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est de 0,9298. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de serveurs fonctionnant correctement au cours d'une journée. Puisque les serveurs sont identiques et fonctionnent indépendamment, X suit une loi binomiale B(n, p) avec n=10 (nombre de serveurs) et p=0,9 (probabilité qu'un serveur fonctionne correctement). La probabilité qu'exactement k serveurs fonctionnent est donnée par P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k. Le centre est opérationnel si X 8, c'est-à-dire si 8, 9 ou 10 serveurs fonctionnent correctement. Nous devons calculer P(X 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10). Calcul de P(X=8) : P(X=8) = 108 (0,9)^8 (0,1)^10-8 = 108 (0,9)^8 (0,1)^2 108 = (10!)/(8!2!) = (10 × 9)/(2 × 1) = 45 P(X=8) = 45 × (0,9)^8 × (0,1)^2 ≈ 45 × 0,43046721 × 0,01 ≈ 0,193710245 Calcul de P(X=9) : P(X=9) = 109 (0,9)^9 (0,1)^10-9 = 109 (0,9)^9 (0,1)^1 109 = (10!)/(9!1!) = 10 P(X=9) = 10 × (0,9)^9 × 0,1 = (0,9)^9 ≈ 0,387420489 Calcul de P(X=10) : P(X=10) = 1010 (0,9)^10 (0,1)^10-10 = 1 × (0,9)^10 × (0,1)^0 = (0,9)^10 P(X=10) ≈ 0,3486784401 Somme des probabilités : P(X 8) = 0,193710245 + 0,387420489 + 0,3486784401 ≈ 0,9298091741 En arrondissant à quatre décimales, on obtient 0,9298. La probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est bien de 0,9298. 2. À l'aide d'une production argumentée, indiquer si le Directeur peut être rassuré ou non. Le Directeur souhaite être rassuré si deux conditions sont remplies : La probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée dépasse 0,90. La probabilité que le centre fonctionne sans interruption durant les 5 jours dépasse 0,60. Vérification de la première condition : D'après la question 1, la probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est P_J = 0,9298. On compare P_J à 0,90 : 0,9298 > 0,90. La première condition est remplie. Vérification de la deuxième condition : L'état opérationnel du centre est indépendant d'un jour à l'autre. Pour que le centre fonctionne sans interruption durant les 5 jours, il doit être opérationnel chaque jour pendant 5 jours consécutifs. La probabilité que le centre fonctionne sans interruption pendant 5 jours est (P_J)^5. (0,9298)^5 ≈ 0,69809 On compare cette probabilité à 0,60 : 0,69809 > 0,60. La deuxième condition est également remplie. Puisque les deux conditions fixées par le Directeur sont remplies, il peut être rassuré. Le Directeur peut être rassuré. 3 done, 2 left today. You're making progress.