Justifier que la probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est de 0,9298. À l'aide d'une production argumentée, indique si le Directeur peut être rassuré ou non.

Absolument ! Mes excuses pour la confusion précédente. Voici la correction de l'exercice 6 de probabilité.

Exercice 6 : Probabilités

Un centre de données est équipé de 10 serveurs. La probabilité qu'un serveur tombe en panne est $q = 0,1$. Par conséquent, la probabilité qu'un serveur fonctionne correctement est $p = 1 - q = 1 - 0,1 = 0,9$. Les serveurs fonctionnent indépendamment.
Le système est opérationnel si au moins 8 serveurs fonctionnent correctement.

1. Justifier que la probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est de 0,9298.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de serveurs fonctionnant correctement au cours d'une journée.
Puisque les serveurs sont identiques et fonctionnent indépendamment, $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=10$ (nombre de serveurs) et $p=0,9$ (probabilité qu'un serveur fonctionne correctement).
La probabilité qu'exactement $k$ serveurs fonctionnent est donnée par $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Le centre est opérationnel si $X \ge 8$, c'est-à-dire si 8, 9 ou 10 serveurs fonctionnent correctement.
Nous devons calculer $P(X \ge 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$.

• Calcul de $P(X=8)$ :

  $$P(X=8) = \binom{10}{8} (0,9)^8 (0,1)^{10-8} = \binom{10}{8} (0,9)^8 (0,1)^2$$ $$\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$ $$P(X=8) = 45 \times (0,9)^8 \times (0,1)^2 \approx 45 \times 0,43046721 \times 0,01 \approx 0,193710245$$

• Calcul de $P(X=9)$ :

  $$P(X=9) = \binom{10}{9} (0,9)^9 (0,1)^{10-9} = \binom{10}{9} (0,9)^9 (0,1)^1$$ $$\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!1!} = 10$$ $$P(X=9) = 10 \times (0,9)^9 \times 0,1 = (0,9)^9 \approx 0,387420489$$

• Calcul de $P(X=10)$ :

  $$P(X=10) = \binom{10}{10} (0,9)^{10} (0,1)^{10-10} = 1 \times (0,9)^{10} \times (0,1)^0 = (0,9)^{10}$$ $$P(X=10) \approx 0,3486784401$$

• Somme des probabilités :

  $$P(X \ge 8) = 0,193710245 + 0,387420489 + 0,3486784401 \approx 0,9298091741$$

  En arrondissant à quatre décimales, on obtient 0,9298.

La probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est bien de $\boxed{0,9298}$.

2. À l'aide d'une production argumentée, indiquer si le Directeur peut être rassuré ou non.

Le Directeur souhaite être rassuré si deux conditions sont remplies :

• La probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée dépasse 0,90.

• La probabilité que le centre fonctionne sans interruption durant les 5 jours dépasse 0,60.

• Vérification de la première condition : D'après la question 1, la probabilité que le centre soit opérationnel au cours d'une journée est $P_J = 0,9298$. On compare $P_J$ à 0,90 : $0,9298 > 0,90$. La première condition est remplie.

• Vérification de la deuxième condition : L'état opérationnel du centre est indépendant d'un jour à l'autre. Pour que le centre fonctionne sans interruption durant les 5 jours, il doit être opérationnel chaque jour pendant 5 jours consécutifs. La probabilité que le centre fonctionne sans interruption pendant 5 jours est $(P_J)^5$.

  $$(0,9298)^5 \approx 0,69809$$

  On compare cette probabilité à 0,60 : $0,69809 > 0,60$. La deuxième condition est également remplie.

Puisque les deux conditions fixées par le Directeur sont remplies, il peut être rassuré.

Le Directeur peut être $\boxed{\text{rassuré}}$.