La suite (un) est définie par un+1 = (19)/(20) un + 1 et u0 = 10. Calculer u1, u2. Montrer que (vn) est géométrique et calculer sa raison, où vn = u_n - 20.

On utilise la formule de récurrence avec $n=0$:

On substitue $u_0 = 10$:

On utilise la formule de récurrence avec $n=1$:

On substitue $u_1 = 10.5$:

Les valeurs sont $u_1 = \boxed{10.5}$ et $u_2 = \boxed{10.975}$.

2) On pose $v_n = u_n - 20$

On sait que $u_{n+1} = \frac{19}{20} u_n + 1$.

De $v_n = u_n - 20$, on a $u_n = v_n + 20$.

La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \boxed{\frac{19}{20}}$.

On utilise la définition $v_n = u_n - 20$ avec $n=0$.

On sait que $u_0 = 10$.

Pour une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$, la formule générale est $v_n = v_0 \cdot q^n$.

L'expression de $v_n$ en fonction de $n$ est $v_n = \boxed{-10 \left(\frac{19}{20}\right)^n}$.

3) Calculer $u_n$ en fonction de $n$.

On sait que $v_n = u_n - 20$, donc $u_n = v_n + 20$.

L'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est $u_n = \boxed{20 - 10 \left(\frac{19}{20}\right)^n}$.

4) Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.

La raison de la suite géométrique est $q = \frac{19}{20}$.
Puisque $-1 < \frac{19}{20} < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{19}{20}\right)^n = 0$.

La limite de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$ est $\boxed{20}$.

That's 2 down