This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la résolution de l'Exercice 2. Exercice 2: La suite (u_n) est définie par u_n+1 = (19)/(20) u_n + 1 et u_0 = 10. 1) Calculer u_1, u_2 Step 1: Calculer u_1. On utilise la formule de récurrence avec n=0: u_1 = (19)/(20) u_0 + 1 On substitue u_0 = 10: u_1 = (19)/(20) (10) + 1 u_1 = (19)/(2) + 1 u_1 = 9.5 + 1 u_1 = 10.5 Step 2: Calculer u_2. On utilise la formule de récurrence avec n=1: u_2 = (19)/(20) u_1 + 1 On substitue u_1 = 10.5: u_2 = (19)/(20) (10.5) + 1 u_2 = (199.5)/(20) + 1 u_2 = 9.975 + 1 u_2 = 10.975 Les valeurs sont u_1 = 10.5 et u_2 = 10.975. 2) On pose v_n = u_n - 20 a) Montrer que (v_n) est géométrique et calculer sa raison. Step 1: Exprimer v_n+1 en fonction de u_n+1. v_n+1 = u_n+1 - 20 Step 2: Substituer l'expression de u_n+1. On sait que u_n+1 = (19)/(20) u_n + 1. v_n+1 = ((19)/(20) u_n + 1) - 20 v_n+1 = (19)/(20) u_n - 19 Step 3: Exprimer u_n en fonction de v_n. De v_n = u_n - 20, on a u_n = v_n + 20. Step 4: Substituer u_n dans l'expression de v_n+1. v_n+1 = (19)/(20) (v_n + 20) - 19 v_n+1 = (19)/(20) v_n + (19)/(20) × 20 - 19 v_n+1 = (19)/(20) v_n + 19 - 19 v_n+1 = (19)/(20) v_n La suite (v_n) est une suite géométrique de raison q = (19)/(20). b) Exprimer v_n en fonction de n. Step 1: Calculer le premier terme v_0. On utilise la définition v_n = u_n - 20 avec n=0. v_0 = u_0 - 20 On sait que u_0 = 10. v_0 = 10 - 20 v_0 = -10 Step 2: Écrire la formule générale d'une suite géométrique. Pour une suite géométrique de premier terme v_0 et de raison q, la formule générale est v_n = v_0 · q^n. v_n = -10 ((19)/(20))^n L'expression de v_n en fonction de n est v_n = -10 ((19)/(20))^n. 3) Calculer u_n en fonction de n. Step 1: Utiliser la relation entre u_n et v_n. On sait que v_n = u_n - 20, donc u_n = v_n + 20. Step 2: Substituer l'expression de v_n trouvée en 2b. u_n = -10 ((19)/(20))^n + 20 L'expression de u_n en fonction de n est u_n = 20 - 10 ((19)/(20))^n. 4) Calculer _n + u_n. Step 1: Écrire l'expression de u_n. u_n = 20 - 10 ((19)/(20))^n Step 2: Évaluer la limite de la partie géométrique. La raison de la suite géométrique est q = (19)/(20). Puisque -1 < (19)/(20) < 1, on a _n + ((19)/(20))^n = 0. Step 3: Calculer la limite de u_n. _n + u_n = _n + (20 - 10 ((19)/(20))^n) _n + u_n = 20 - 10 × 0 _n + u_n = 20 La limite de u_n lorsque n + est 20. That's 2 down