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lim u->0 (1-cos)/(2u2)

September 8, 2026Mathematics

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Answer

\frac{1}{4}

4 steps

Identifier la forme indéterminée.
Lorsque $x \to 0$ , le numérateur $1 - \cos(x)$ tend vers $1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$ .
Le dénominateur $2x^2$ tend vers $2(0)^2 = 0$ .
Nous avons donc une forme indéterminée de type $\frac{0}{0}$ .
Utiliser une limite remarquable.
Nous utilisons la limite remarquable suivante :
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$
Réécrire l'expression.
Nous pouvons réécrire l'expression donnée en factorisant la constante du dénominateur :
$\frac{1 - \cos(x)}{2x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$
Calculer la limite.
Maintenant, nous appliquons la limite à l'expression réécrite :
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \right)$
En utilisant la propriété des limites pour les constantes :
$= \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$
En substituant la valeur de la limite remarquable :
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{4}$
La limite est :
$\frac{1}{4}$