Make x the subject of the formula a = sqrt((t+x)/p2)

Huu hapa ni utatuzi wa maswali yako:

4. Fanya $s$ kuwa mada ya fomula $a = \sqrt{\frac{s^2+q}{p^3}}$

• Step 1: Piga pande zote mbili mraba ili kuondoa mzizi wa mraba.

  $$a^2 = \frac{s^2+q}{p^3}$$

• Step 2: Zidisha pande zote mbili kwa $p^3$.

  $$a^2 p^3 = s^2+q$$

• Step 3: Toa $q$ kutoka pande zote mbili.

  $$a^2 p^3 - q = s^2$$

• Step 4: Piga mzizi wa mraba pande zote mbili ili kumtenga $s$.

  $$s = \sqrt{a^2 p^3 - q}$$

  Mada ya fomula ni $\boxed{s = \sqrt{a^2 p^3 - q}}$.

5. Baada ya $t$ sekunde, chembe inayotembea kwenye mstari ulionyooka ina kasi ya $v$ m/s na kuongeza kasi ya $(8 - 2t)$ m/s$^2$. Ikiwa kasi ya awali ilikuwa 2 m/s, tambua kasi ya chembe mwanzoni mwa sekunde ya tatu.

• Step 1: Andika mlinganyo wa kuongeza kasi na uhusiano wake na kasi. Kuongeza kasi, $a(t) = \frac{dv}{dt} = 8 - 2t$.

• Step 2: Unganisha mlinganyo wa kuongeza kasi ili kupata mlinganyo wa kasi.

  $$v(t) = \int (8 - 2t)\,dt$$ $$v(t) = 8t - \frac{2t^2}{2} + C$$ $$v(t) = 8t - t^2 + C$$

• Step 3: Tumia kasi ya awali kupata thamani ya $C$. Kasi ya awali ni $v(0) = 2$ m/s.

  $$2 = 8(0) - (0)^2 + C$$ $$C = 2$$

  Hivyo, mlinganyo wa kasi ni $v(t) = 8t - t^2 + 2$.

• Step 4: Kokotoa kasi mwanzoni mwa sekunde ya tatu (yaani, wakati $t=2$ sekunde).

  $$v(2) = 8(2) - (2)^2 + 2$$ $$v(2) = 16 - 4 + 2$$ $$v(2) = 14 \text{ m/s}$$

  Kasi ya chembe mwanzoni mwa sekunde ya tatu ni $\boxed{14 \text{ m/s}}$.

6. Tatua $\sin^2 x - \cos^2 x = -\frac{1}{2}$ kwa $0^\circ \le x \le 360^\circ$.

• Step 1: Tumia utambulisho wa trigonometria $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Mlinganyo uliotolewa ni $\sin^2 x - \cos^2 x = -\frac{1}{2}$. Tunaweza kuandika upya kama $-(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\frac{1}{2}$. Hii inarahisisha kuwa $-\cos(2x) = -\frac{1}{2}$. Kuzidisha pande zote mbili kwa $-1$ kunatoa $\cos(2x) = \frac{1}{2}$.

• Step 2: Pata thamani kuu ya $2x$. Acha $\theta = 2x$. Tunahitaji kutatua $\cos \theta = \frac{1}{2}$. Thamani kuu ni $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

• Step 3: Pata thamani zote zinazowezekana za $2x$ ndani ya masafa yaliyopanuliwa. Kwa kuwa $0^\circ \le x \le 360^\circ$, basi $0^\circ \le 2x \le 720^\circ$. Cosine ni chanya katika roboduara ya kwanza na ya nne. Thamani zinazowezekana za $2x$ ni:

  • $2x = 60^\circ$ (Roboduara ya 1)
  • $2x = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ (Roboduara ya 4)
  • $2x = 360^\circ + 60^\circ = 420^\circ$ (Roboduara ya 1 katika mzunguko unaofuata)
  • $2x = 720^\circ - 60^\circ = 660^\circ$ (Roboduara ya 4 katika mzunguko unaofuata)

• Step 4: Tatua kwa $x$.

  • $2x = 60^\circ \implies x = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
  • $2x = 300^\circ \implies x = \frac{300^\circ}{2} = 150^\circ$
  • $2x = 420^\circ \implies x = \frac{420^\circ}{2} = 210^\circ$
  • $2x = 660^\circ \implies x = \frac{660^\circ}{2} = 330^\circ$ Thamani za $x$ ni $\boxed{30^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 330^\circ}$.