Mathematics for management

"በ5 ዓመታት ውስጥ 8000 ብር 2000 ብር ወለድ የሚያስገኘው በምን የወለድ መጠን ነው?"

• የቀላል ወለድ ቀመር $I = P \times R \times T$ ነው።
• $I = 2000$ ብር፣ $P = 8000$ ብር፣ $T = 5$ ዓመታት።
• $2000 = 8000 \times R \times 5$
• $2000 = 40000 \times R$
• $R = \frac{2000}{40000} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} = 0.05$
• በመቶኛ ሲገለጽ $R = 0.05 \times 100\% = 5\%$
• መልስ: C. 5%

"1200 ብር ለሶስት የተለያዩ ሰዎች በ2:3:7 ጥምርታ ተከፋፍሏል። እያንዳንዱ ሰው ስንት ብር አገኘ?"

• ጠቅላላ የጥምርታ ክፍሎች = $2 + 3 + 7 = 12$
• የመጀመሪያው ሰው ድርሻ = $\frac{2}{12} \times 1200 = 2 \times 100 = 200$ ብር
• ሁለተኛው ሰው ድርሻ = $\frac{3}{12} \times 1200 = 3 \times 100 = 300$ ብር
• ሶስተኛው ሰው ድርሻ = $\frac{7}{12} \times 1200 = 7 \times 100 = 700$ ብር
• መልስ: A. 200, 300 & 700 (ምንም እንኳን አማራጮቹ በቅደም ተከተል ባይሆኑም፣ A ትክክለኛዎቹን ቁጥሮች ይዟል)

"$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ እና $B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$ ከሆነ $AB$ ምንድን ነው?"

• የማትሪክስ ማባዛት $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} (3)(2) + (-1)(6) & (3)(5) + (-1)(-4) \\ (2)(2) + (1)(6) & (2)(5) + (1)(-4) \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 6 - 6 & 15 + 4 \\ 4 + 6 & 10 - 4 \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 0 & 19 \\ 10 & 6 \end{pmatrix}$$
• መልስ: C. $\begin{pmatrix} 0 & 19 \\ 10 & 6 \end{pmatrix}$

"$f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 10x$ የሁለተኛው ተወላጅ (second derivative) የትኛው ነው?"

• የመጀመሪያውን ተወላጅ እንፈልግ ($f'(x)$): $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - 4x^2 + 10x) = 8x^3 - 8x + 10$$
• ሁለተኛውን ተወላጅ እንፈልግ ($f''(x)$): $$f''(x) = \frac{d}{dx}(8x^3 - 8x + 10) = 24x^2 - 8$$
• መልስ: B. $24x^2 - 8$

"አንድ ማተሚያ 100 ቅጂዎችን ለማተም 1400 ብር እና 500 ቅጂዎችን ለማተም 3000 ብር ያስከፍላል። 300 ቅጂዎችን ለማተም ዋጋው ስንት ይሆናል?"

• የወጪ ተግባር መስመራዊ ነው ብለን እንገምታለን: $C(x) = F + Vx$፣ $F$ ቋሚ ወጪ ሲሆን $V$ ደግሞ ተለዋዋጭ ወጪ በአንድ ቅጂ ነው።
• $C(100) = F + 100V = 1400$ (እኩልታ 1)
• $C(500) = F + 500V = 3000$ (እኩልታ 2)
• እኩልታ 1ን ከእኩልታ 2 እንቀንስ: $(F + 500V) - (F + 100V) = 3000 - 1400$ $400V = 1600$ $V = \frac{1600}{400} = 4$ ብር በአንድ ቅጂ
• $V=4$ን ወደ እኩልታ 1 እንተካ: $F + 100(4) = 1400$ $F + 400 = 1400$ $F = 1000$ ብር
• ለ300 ቅጂዎች ዋጋውን እንፈልግ: $C(300) = F + 300V = 1000 + 300(4) = 1000 + 1200 = 2200$ ብር
• መልስ: D. 2200 ብር

"ገመቹ 20,000 ብር በኩፕ ባንክ በዓመት 5% ቀላል ወለድ ቢያስቀምጥ፣ ከ5 ዓመት በኋላ ያለው ጠቅላላ ገንዘቡ ስንት ነው?"

• የቀላል ወለድ ቀመር $I = P \times R \times T$ ነው።
• $P = 20000$ ብር፣ $R = 5\% = 0.05$፣ $T = 5$ ዓመታት።
• $I = 20000 \times 0.05 \times 5 = 1000 \times 5 = 5000$ ብር
• ጠቅላላ ገንዘብ $A = P + I = 20000 + 5000 = 25000$ ብር
• መልስ: B. 25,000

"$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & -10 \end{pmatrix}$ እና $B = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 6 & -14 \end{pmatrix}$ ከሆነ ማትሪክስ $A+B$ ምንድን ነው?"

• የማትሪክስ መደመር $A+B$: $$A+B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & -10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 6 & -14 \end{pmatrix}$$ $$A+B = \begin{pmatrix} 4+9 & 3+7 \\ 7+6 & -10+(-14) \end{pmatrix}$$ $$A+B = \begin{pmatrix} 13 & 10 \\ 13 & -24 \end{pmatrix}$$
• መልስ: D. $\begin{pmatrix} 13 & 10 \\ 13 & -24 \end{pmatrix}$

• 28. ተገላቢጦሽ የሌለው ማትሪክስ ________ ይባላል።
  • መልስ: ነጠላ ማትሪክስ (singular matrix)
• 29. ዋናው ዲያግናል ላይ 1 የሆኑ ካሬ ማትሪክስ ________ ይባላል።
  • መልስ: የመለያ ማትሪክስ (identity matrix)
• 30. የመስመርን ገደላማነት የሚለካው ________ ነው።
  • መልስ: ቁልቁለት (slope)
• 31. $f(x) = 5x^3$ ከሆነ የመጀመሪያው ተወላጅ ወይም $f'(x)$ ከ________ ጋር እኩል ነው።
  • $f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3) = 5 \times 3x^{3-1} = 15x^2$
  • መልስ: $15x^2$
• 32. ተወላጅ የማግኘት ሂደት ________ ይባላል።
  • መልስ: ልዩነት (differentiation)

"$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 5 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ እና $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 7 & 7 \end{pmatrix}$ ከሆነ $3A - 2B$ን ፈልግ።"

• $3A$ን እንፈልግ: $$3A = 3 \times \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 5 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 0 & 3 \times 3 & 3 \times 6 \\ 3 \times 1 & 3 \times 4 & 3 \times 7 \\ 3 \times 5 & 3 \times 8 & 3 \times 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 18 \\ 3 & 12 & 21 \\ 15 & 24 & 27 \end{pmatrix}$$
• $2B$ን እንፈልግ: $$2B = 2 \times \begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 7 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 5 & 2 \times 0 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 4 & 2 \times 5 \\ 2 \times 0 & 2 \times 7 & 2 \times 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 4 \\ 6 & 8 & 10 \\ 0 & 14 & 14 \end{pmatrix}$$
• $3A - 2B$ን እንፈልግ: $$3A - 2B = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 18 \\ 3 & 12 & 21 \\ 15 & 24 & 27 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 0 & 4 \\ 6 & 8 & 10 \\ 0 & 14 & 14 \end{pmatrix}$$ $$3A - 2B = \begin{pmatrix} 0-10 & 9-0 & 18-4 \\ 3-6 & 12-8 & 21-10 \\ 15-0 & 24-14 & 27-14 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\begin{pmatrix} -10 & 9 & 14 \\ -3 & 4 & 11 \\ 15 & 10 & 13 \end{pmatrix}}$$

"10,000 ብር በባንክ ተቀማጭ ሆኖ ባንኩ በዓመት 7% ወለድ በየዓመቱ በውህድ ወለድ (compounded annually) የሚከፍል ከሆነ፣ ከ3 ዓመት በኋላ ያለው ጠቅላላ ገንዘብ ስንት ነው?"

• የውህድ ወለድ ቀመር $A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$ ነው።
• $P = 10000$ ብር፣ $r = 7\% = 0.07$፣ $t = 3$ ዓመታት፣ $n = 1$ (በየዓመቱ ስለሆነ)።
• $A = 10000(1 + \frac{0.07}{1})^{1 \times 3}$
• $A = 10000(1 + 0.07)^3$
• $A = 10000(1.07)^3$
• $A = 10000(1.225043)$
• $A = 12250.43$ ብር
• መልስ: $\boxed{12250.43 \text{ ብር}}$

"የቢሮ እቃዎችን የሚያመርት የማምረቻ ድርጅት የሚከተሉት ተለዋዋጭ ወጪዎች በአንድ ክፍል አለው። 5 ጠረጴዛዎች፣ 6 ወንበሮች፣ 4 ጠረጴዛዎች እና 12 ካቢኔቶች ትዕዛዝ እንደደረሰው አስቡ። የታዘዙትን እቃዎች ለማምረት የሚያስፈልገው ጠቅላላ የቁሳቁስ እና የጉልበት ወጪ ስንት ነው?"

• የተሰጠው መረጃ:

  • ቁሳቁስ:
    • ጠረጴዛ: 50 ብር/ክፍል
    • ወንበር: 20 ብር/ክፍል
    • ጠረጴዛ (Table): 15 ብር/ክፍል
    • ካቢኔት: 25 ብር/ክፍል
  • ጉልበት:
    • ጠረጴዛ: 30 ብር/ክፍል
    • ወንበር: 15 ብር/ክፍል
    • ጠረጴዛ (Table): 12 ብር/ክፍል
    • ካቢኔት: 15 ብር/ክፍል

• የታዘዙ እቃዎች: 5 ጠረጴዛዎች፣ 6 ወንበሮች፣ 4 ጠረጴዛዎች፣ 12 ካቢኔቶች።

• ጠቅላላ የቁሳቁስ ወጪ:

  • (5 ጠረጴዛዎች $\times$ 50 ብር/ጠረጴዛ) + (6 ወንበሮች $\times$ 20 ብር/ወንበር) + (4 ጠረጴዛዎች $\times$ 15 ብር/ጠረጴዛ) + (12 ካቢኔቶች $\times$ 25 ብር/ካቢኔት)
  • $250 + 120 + 60 + 300 = 730$ ብር

• ጠቅላላ የጉልበት ወጪ:

  • (5 ጠረጴዛዎች $\times$ 30 ብር/ጠረጴዛ) + (6 ወንበሮች $\times$ 15 ብር/ወንበር) + (4 ጠረጴዛዎች $\times$ 12 ብር/ጠረጴዛ) + (12 ካቢኔቶች $\times$ 15 ብር/ካቢኔት)
  • $150 + 90 + 48 + 180 = 468$ ብር

• ጠቅላላ የቁሳቁስ እና የጉልበት ወጪ:

  • $730 \text{ ብር} + 468 \text{ ብር} = 1198$ ብር

• መልስ: $\boxed{1198 \text{ ብር}}$