Montrer que pour tout entier naturel n, si n est pair alors n² est pair.

Par définition, un entier pair peut s'écrire sous la forme $n = 2k$, où $k$ est un entier naturel.

Nous pouvons factoriser 2 de l'expression $4k^2$:

Puisque $k$ est un entier naturel, $k^2$ est aussi un entier naturel, et donc $2k^2$ est un entier naturel.
Soit $K = 2k^2$. Alors $n^2 = 2K$, où $K$ est un entier naturel.

Par définition, tout nombre qui peut s'écrire sous la forme $2K$ (où $K$ est un entier) est un nombre pair.
Donc, $n^2$ est pair.

Nous avons montré que si $n$ est un entier naturel pair, alors $n^2$ est également pair.