On a farm, a man ties a bull and a cow to two fixed tree stamps opposite each other. The bull is tied to a point A using a rope of length 10 m. The cow is tied to another point B using a rope of length 8 m. The distance AB = 12 m. The worker had to collect water from the well to give to the bull.

• Ng'ombe dume (bull) amefungwa kwa kamba ya urefu $R_1 = 10$ m kwenye sehemu A.
• Ng'ombe jike (cow) amefungwa kwa kamba ya urefu $R_2 = 8$ m kwenye sehemu B.
• Umbali kati ya sehemu A na B ni $d = 12$ m. Eneo la kawaida ni makutano ya miduara miwili.

Acha $x_1$ iwe umbali kutoka A hadi kamba ya kawaida, na $x_2$ iwe umbali kutoka B hadi kamba ya kawaida.
Tunajua $x_1 + x_2 = d = 12$.
Pia, $R_1^2 - x_1^2 = R_2^2 - x_2^2$ (kwa sababu nusu ya urefu wa kamba ya kawaida ni sawa).

Kisha, $x_2 = 12 - 7.5 = 4.5 \text{ m}$.

Pembe ya sehemu ya duara kutoka kituo A, $\theta_1$:

Pembe ya sehemu ya duara kutoka kituo B, $\theta_2$:

Eneo la sehemu ya duara $A_{segment} = \frac{1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)$.
Eneo la sehemu kutoka duara A ($A_A$):

Eneo la sehemu kutoka duara B ($A_B$):

Eneo la kawaida = $A_A + A_B = 22.6656 + 32.4519 = 55.1175 \text{ m}^2$.

Eneo la eneo la kawaida kwa wanyama wote wawili wanaokula nyasi ni $\boxed{\text{55.12 m}^2}$.

b) Tafuta umbali wa moja kwa moja mfanyakazi atatembea kutoka kisimani hadi kwa ng'ombe dume.

• Mfanyakazi anaanza kwa ng'ombe dume (sehemu A).
• Anatembea 15 m kwa bearing ya $060^\circ$ hadi sehemu ya jeri (J).
• Kutoka J, anatembea 25 m kwa bearing ya $150^\circ$ hadi kisimani (W).
• Anarudi moja kwa moja kutoka W hadi A. Tunahitaji kupata umbali WA.

Bearing kutoka A hadi J ni $060^\circ$.
Bearing kutoka J hadi W ni $150^\circ$.
Ili kupata pembe $\angle AJW$, tunahitaji kuzingatia mstari wa Kaskazini kwenye J.
Pembe ya ndani kati ya mstari wa Kaskazini kwenye J na mstari JA (ukielekea A) ni $60^\circ$ (pembe mbadala ya ndani na $60^\circ$ kwenye A).
Pembe kati ya mstari wa Kaskazini kwenye J na mstari JW ni $150^\circ$.
Kwa hivyo, pembe $\angle AJW$ ni tofauti kati ya $150^\circ$ na $60^\circ$.

Hii inamaanisha pembetatu AJW ni pembetatu ya pembe mraba kwenye J.

Katika pembetatu ya pembe mraba AJW:

Umbali wa moja kwa moja mfanyakazi atatembea kutoka kisimani hadi kwa ng'ombe dume ni $\boxed{\text{29.15 m}}$.

Item 6

a) Mshauri Bob kuhusu benki ya bei nafuu zaidi kupata mkopo kutoka.

• Bob anahitaji Shs. 7,000,000.
• Alipokea $1,400 kutoka kwa rafiki yake.
• Kiwango cha ubadilishaji: $1 = \text{UGX } 3,800$. Kiasi alichopokea kutoka kwa rafiki = $1,400 \times 3,800 = \text{UGX } 5,320,000$. Kiasi anachohitaji kukopa = $7,000,000 - 5,320,000 = \text{UGX } 1,680,000$. Hiki ndicho kiasi kikuu cha mkopo ($P$).

• Kiwango cha riba rahisi = 20% kwa miaka 2 (miezi 24).

Jumla ya kiasi cha kurejesha kwa Benki A = $P + SI = 1,680,000 + 672,000 = \text{UGX } 2,352,000$.

• Kiwango cha riba ya mchanganyiko = 14% kwa miaka 2 (miezi 24). Tunadhania riba inachanganywa kila mwaka.

• Benki A: UGX 2,352,000
• Benki B: UGX 2,183,328 Benki B ina kiasi cha chini cha kurejesha.

Bob anapaswa kuchagua Benki B kwa sababu ina riba ya chini zaidi, na hivyo kiasi cha kurejesha ni kidogo.

b) Msaidie Alex kuamua njia mbadala ya ununuzi wa kukodisha isiyo na gharama kubwa.

• Bei ya soko ya gari = UGX 32,000,000.
• Malipo ya awali = 25% ya thamani ya pesa taslimu.
• Malipo ya kila mwezi = Shs. 1,125,000 kwa miaka 2 (miezi 24). Malipo ya awali = $0.25 \times 32,000,000 = \text{UGX } 8,000,000$. Jumla ya malipo ya kila mwezi = $1,125,000 \times 24 = \text{UGX } 27,000,000$. Gharama ya jumla kwa njia mbadala ya kwanza = Malipo ya awali + Jumla ya malipo ya kila mwezi Gharama ya jumla = $8,000,000 + 27,000,000 = \text{UGX } 35,000,000$.

• Malipo ya awali = $\frac{1}{3}$ ya thamani ya pesa taslimu.
• Malipo ya kila wiki = Shs. 315,000 kwa wiki 104. Malipo ya awali = $\frac{1}{3} \times 32,000,000 = \text{UGX } 10,666,666.67$. Jumla ya malipo ya kila wiki = $315,000 \times 104 = \text{UGX } 32,760,000$. Gharama ya jumla kwa njia mbadala ya pili = Malipo ya awali + Jumla ya malipo ya kila wiki Gharama ya jumla = $10,666,666.67 + 32,760,000 = \text{UGX } 43,426,666.67$.

• Njia mbadala ya kwanza: UGX 35,000,000
• Njia mbadala ya pili: UGX 43,426,666.67 Njia mbadala ya kwanza ina gharama ya chini zaidi.

Alex anapaswa kuchagua njia mbadala ya kwanza kwa sababu ina gharama ya chini zaidi ya jumla.