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On considère l'application f du plan P dans le plan P qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que : z' = (z2 - 4) / 2z

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2 parts
a

C∖{0}\mathbb{C} \setminus \{0\}

c

incorrect en geˊneˊral\text{incorrect en général}

Step-by-step solution

8 steps

Voici la solution détaillée aux questions.

3. On considère l'application ff du plan P dans le plan P qui à tout point M(z)M(z) associe le point M′(z′)M'(z') tel que: z′=z2−42zz' = \frac{z^2 - 4}{2z}.

Part a· 2 steps

Déterminer l'ensemble de définition de ff.

  1. Identifier la condition pour que la fonction soit définie.

    L'expression de z′z' est une fraction rationnelle. Elle est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.

    2z≠02z \neq 0

  2. Résoudre l'inégalité.

    z≠0z \neq 0

    L'ensemble de définition de ff est l'ensemble des nombres complexes non nuls.
    L'ensemble de définition de ff est C∖{0}\boxed{\mathbb{C} \setminus \{0\}}.

Part b· 3 steps

Montrer que pour tout z≠2iz \neq 2i, on a: z′+2iz′−2i=(z+2iz−2i)2\frac{z' + 2i}{z' - 2i} = \left(\frac{z + 2i}{z - 2i}\right)^2.

  1. Calculer l'expression z′+2iz' + 2i.

    On substitue z′=z2−42zz' = \frac{z^2 - 4}{2z}:

    z′+2i=z2−42z+2i=z2−4+2i(2z)2z=z2−4+4iz2zz' + 2i = \frac{z^2 - 4}{2z} + 2i = \frac{z^2 - 4 + 2i(2z)}{2z} = \frac{z^2 - 4 + 4iz}{2z}

    Réarrangeons les termes pour reconnaître une identité remarquable:

    z′+2i=z2+4iz−42zz' + 2i = \frac{z^2 + 4iz - 4}{2z}

    On sait que (z+2i)2=z2+2(z)(2i)+(2i)2=z2+4iz−4(z + 2i)^2 = z^2 + 2(z)(2i) + (2i)^2 = z^2 + 4iz - 4.
    Donc,

    z′+2i=(z+2i)22zz' + 2i = \frac{(z + 2i)^2}{2z}

  2. Calculer l'expression z′−2iz' - 2i.

    On substitue z′=z2−42zz' = \frac{z^2 - 4}{2z}:

    z′−2i=z2−42z−2i=z2−4−2i(2z)2z=z2−4−4iz2zz' - 2i = \frac{z^2 - 4}{2z} - 2i = \frac{z^2 - 4 - 2i(2z)}{2z} = \frac{z^2 - 4 - 4iz}{2z}

    Réarrangeons les termes pour reconnaître une identité remarquable:

    z′−2i=z2−4iz−42zz' - 2i = \frac{z^2 - 4iz - 4}{2z}

    On sait que (z−2i)2=z2−2(z)(2i)+(2i)2=z2−4iz−4(z - 2i)^2 = z^2 - 2(z)(2i) + (2i)^2 = z^2 - 4iz - 4.
    Donc,

    z′−2i=(z−2i)22zz' - 2i = \frac{(z - 2i)^2}{2z}

  3. Calculer le rapport z′+2iz′−2i\frac{z' + 2i}{z' - 2i}.

    z′+2iz′−2i=(z+2i)22z(z−2i)22z\frac{z' + 2i}{z' - 2i} = \frac{\frac{(z + 2i)^2}{2z}}{\frac{(z - 2i)^2}{2z}}

    Puisque z≠0z \neq 0 (d'après la partie a)) et z≠2iz \neq 2i (condition donnée), le dénominateur (z−2i)2(z - 2i)^2 est non nul.

    z′+2iz′−2i=(z+2i)2(z−2i)2=(z+2iz−2i)2\frac{z' + 2i}{z' - 2i} = \frac{(z + 2i)^2}{(z - 2i)^2} = \left(\frac{z + 2i}{z - 2i}\right)^2

    L'égalité est démontrée.

Part c

incorrect en geˊneˊral\text{incorrect en général}

On note A(2i) et E(-2i). Montrer que : (MA⃗,M′E⃗)=2(MA⃗,ME⃗)+2kπ(\vec{MA}, \vec{M'E}) = 2(\vec{MA}, \vec{ME}) + 2k\pi et M′EMA=(MEMA)2\frac{M'E}{MA} = \left(\frac{ME}{MA}\right)^2.

Soient zA=2iz_A = 2i et zE=−2iz_E = -2i.
L'expression à démontrer est équivalente à montrer que:

arg⁡(zE−z′zA−z)=2arg⁡(zE−zzA−z)+2kπ\arg\left(\frac{z_E - z'}{z_A - z}\right) = 2 \arg\left(\frac{z_E - z}{z_A - z}\right) + 2k\pi

et

∣zE−z′zA−z∣=∣zE−zzA−z∣2\left|\frac{z_E - z'}{z_A - z}\right| = \left|\frac{z_E - z}{z_A - z}\right|^2

Ces deux conditions sont équivalentes à l'égalité des nombres complexes:

zE−z′zA−z=(zE−zzA−z)2\frac{z_E - z'}{z_A - z} = \left(\frac{z_E - z}{z_A - z}\right)^2

  1. Calculer le membre de gauche zE−z′zA−z\frac{z_E - z'}{z_A - z}.

    zE−z′=−2i−z2−42z=−4iz−(z2−4)2z=−z2−4iz+42z=−(z2+4iz−4)2zz_E - z' = -2i - \frac{z^2 - 4}{2z} = \frac{-4iz - (z^2 - 4)}{2z} = \frac{-z^2 - 4iz + 4}{2z} = \frac{-(z^2 + 4iz - 4)}{2z}

    On reconnaît z2+4iz−4=(z+2i)2z^2 + 4iz - 4 = (z + 2i)^2.

    zE−z′=−(z+2i)22zz_E - z' = \frac{-(z + 2i)^2}{2z} zA−z=2i−z=−(z−2i)z_A - z = 2i - z = -(z - 2i)

    Donc,

    zE−z′zA−z=−(z+2i)22z−(z−2i)=(z+2i)22z(z−2i)\frac{z_E - z'}{z_A - z} = \frac{\frac{-(z + 2i)^2}{2z}}{-(z - 2i)} = \frac{(z + 2i)^2}{2z(z - 2i)}

  2. Calculer le membre de droite (zE−zzA−z)2\left(\frac{z_E - z}{z_A - z}\right)^2.

    zE−z=−2i−z=−(z+2i)z_E - z = -2i - z = -(z + 2i) zA−z=2i−z=−(z−2i)z_A - z = 2i - z = -(z - 2i)

    Donc,

    zE−zzA−z=−(z+2i)−(z−2i)=z+2iz−2i\frac{z_E - z}{z_A - z} = \frac{-(z + 2i)}{-(z - 2i)} = \frac{z + 2i}{z - 2i}

    Alors,

    (zE−zzA−z)2=(z+2iz−2i)2=(z+2i)2(z−2i)2\left(\frac{z_E - z}{z_A - z}\right)^2 = \left(\frac{z + 2i}{z - 2i}\right)^2 = \frac{(z + 2i)^2}{(z - 2i)^2}

  3. Comparer les deux membres.

    Nous avons trouvé:
    Membre de gauche: (z+2i)22z(z−2i)\frac{(z + 2i)^2}{2z(z - 2i)}
    Membre de droite: (z+2i)2(z−2i)2\frac{(z + 2i)^2}{(z - 2i)^2}
    Pour que ces deux expressions soient égales, il faudrait que 2z(z−2i)=(z−2i)22z(z - 2i) = (z - 2i)^2.
    Puisque z≠2iz \neq 2i (condition de la partie b), on peut diviser par (z−2i)(z - 2i):

    2z=z−2i2z = z - 2i z=−2iz = -2i

    L'égalité n'est donc vraie que si z=−2iz = -2i. Cependant, la question demande de montrer l'égalité pour tout point M(z)M(z) (implicitement pour tout zz dans le domaine de définition de ff et z≠2iz \neq 2i). Puisque l'égalité n'est pas vraie pour tout z≠−2iz \neq -2i, la proposition est fausse en général.

    Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de la question c). Les propriétés qui découlent directement de la relation de la partie b) sont:
    (M′A⃗,M′E⃗)=2(MA⃗,ME⃗)+2kπ(\vec{M'A}, \vec{M'E}) = 2(\vec{MA}, \vec{ME}) + 2k\pi
    et
    M′EM′A=(MEMA)2\frac{M'E}{M'A} = \left(\frac{ME}{MA}\right)^2

    Puisque la question demande de montrer l'égalité, et que nous avons démontré qu'elle n'est pas vraie en général, nous concluons que l'énoncé de la question c) est incorrect.

    L'énoncé de la question c) est incorrect en geˊneˊral\boxed{\text{incorrect en général}}.

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