On définit par récurrence les suites (un)n N et (vn)n N par : u0 = 1, v0 = 2 et un+1 = (un2)/(un + vn), vn+1 = (vn2)/(un + vn). Montrer que un > 0 et vn > 0, et que ces suites décroissent.

• Initialisation (n=0) : $u_0 = 1 > 0$ et $v_0 = 2 > 0$. La propriété est vraie pour $n=0$.
• Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $u_k > 0$ et $v_k > 0$. Alors $u_k + v_k > 0$. Pour $u_{k+1} = \frac{u_k^2}{u_k + v_k}$ : Puisque $u_k > 0$, $u_k^2 > 0$. Le dénominateur $u_k + v_k > 0$. Donc $u_{k+1} > 0$. Pour $v_{k+1} = \frac{v_k^2}{u_k + v_k}$ : Puisque $v_k > 0$, $v_k^2 > 0$. Le dénominateur $u_k + v_k > 0$. Donc $v_{k+1} > 0$. La propriété est héréditaire.
• Conclusion : Par le principe de récurrence, $u_n > 0$ et $v_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

• Monotonie de $(u_n)$ : Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ :

  $$u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2}{u_n + v_n} - u_n = \frac{u_n^2 - u_n(u_n + v_n)}{u_n + v_n} = \frac{u_n^2 - u_n^2 - u_n v_n}{u_n + v_n} = \frac{-u_n v_n}{u_n + v_n}$$

  Puisque $u_n > 0$ et $v_n > 0$ (d'après la question 1), on a $u_n v_n > 0$ et $u_n + v_n > 0$. Donc, $\frac{-u_n v_n}{u_n + v_n} < 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n < 0$, ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

• Monotonie de $(v_n)$ : Calculons la différence $v_{n+1} - v_n$ :

  $$v_{n+1} - v_n = \frac{v_n^2}{u_n + v_n} - v_n = \frac{v_n^2 - v_n(u_n + v_n)}{u_n + v_n} = \frac{v_n^2 - u_n v_n - v_n^2}{u_n + v_n} = \frac{-u_n v_n}{u_n + v_n}$$

  De même, puisque $u_n > 0$ et $v_n > 0$, on a $\frac{-u_n v_n}{u_n + v_n} < 0$. Ainsi, $v_{n+1} - v_n < 0$, ce qui signifie que la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

• Convergence : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0 (car $u_n > 0$). Toute suite décroissante et minorée converge. Donc $(u_n)$ converge vers une limite $l$. La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par 0 (car $v_n > 0$). Toute suite décroissante et minorée converge. Donc $(v_n)$ converge vers une limite $l'$.

Puisque $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $l$ et $l'$ respectivement, nous pouvons prendre la limite de l'expression de $u_{n+1}$ :

Si $l+l' \ne 0$, on peut multiplier par $(l+l')$ :

Si $l+l'=0$, comme $l \ge 0$ et $l' \ge 0$ (car $u_n > 0, v_n > 0$), cela implique $l=0$ et $l'=0$. Dans ce cas, $l l' = 0 \cdot 0 = 0$.
Donc, dans tous les cas, nous avons $\boxed{l l' = 0}$.

4. **Montrer que la suite $(v_n - u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante. En déduire $