On définit par récurrence les suites (un)n N et (vn)n N par : u0 = 1, v0 = 2 et un+1 = (un2)/(un + vn), vn+1 = (vn2)/(un + vn). Montrer que un > 0 et vn > 0, et que ces suites décroissent.

Exercice 2: On définit par récurrence les suites (u_n)_n N et (v_n)_n N par : u_0 = 1, v_0 = 2 u_n+1 = (u_n^2)/(u_n + v_n) v_n+1 = (v_n^2)/(u_n + v_n) 1. Montrer par récurrence que l'on a u_n > 0 et v_n > 0 : Initialisation (n=0) : u_0 = 1 > 0 et v_0 = 2 > 0. La propriété est vraie pour n=0. Hérédité : Supposons que pour un certain k N, u_k > 0 et v_k > 0. Alors u_k + v_k > 0. Pour u_k+1 = (u_k^2)/(u_k + v_k) : Puisque u_k > 0, u_k^2 > 0. Le dénominateur u_k + v_k > 0. Donc u_k+1 > 0. Pour v_k+1 = (v_k^2)/(u_k + v_k) : Puisque v_k > 0, v_k^2 > 0. Le dénominateur u_k + v_k > 0. Donc v_k+1 > 0. La propriété est héréditaire. Conclusion : Par le principe de récurrence, u_n > 0 et v_n > 0 pour tout n N. 2. Montrer que les suites (u_n)_n N et (v_n)_n N décroissent. En déduire qu'elles convergent vers l et l' respectivement : Monotonie de (u_n) : Calculons la différence u_n+1 - u_n : u_n+1 - u_n = (u_n^2)/(u_n + v_n) - u_n = (u_n^2 - u_n(u_n + v_n))/(u_n + v_n) = (u_n^2 - u_n^2 - u_n v_n)/(u_n + v_n) = (-u_n v_n)/(u_n + v_n) Puisque u_n > 0 et v_n > 0 (d'après la question 1), on a u_n v_n > 0 et u_n + v_n > 0. Donc, (-u_n v_n)/(u_n + v_n) < 0. Ainsi, u_n+1 - u_n < 0, ce qui signifie que la suite (u_n) est strictement décroissante. Monotonie de (v_n) : Calculons la différence v_n+1 - v_n : v_n+1 - v_n = (v_n^2)/(u_n + v_n) - v_n = (v_n^2 - v_n(u_n + v_n))/(u_n + v_n) = (v_n^2 - u_n v_n - v_n^2)/(u_n + v_n) = (-u_n v_n)/(u_n + v_n) De même, puisque u_n > 0 et v_n > 0, on a (-u_n v_n)/(u_n + v_n) < 0. Ainsi, v_n+1 - v_n < 0, ce qui signifie que la suite (v_n) est strictement décroissante. Convergence : La suite (u_n) est décroissante et minorée par 0 (car u_n > 0). Toute suite décroissante et minorée converge. Donc (u_n) converge vers une limite l. La suite (v_n) est décroissante et minorée par 0 (car v_n > 0). Toute suite décroissante et minorée converge. Donc (v_n) converge vers une limite l'. 3. Montrer que l'on a l l' = 0 : Puisque (u_n) et (v_n) convergent vers l et l' respectivement, nous pouvons prendre la limite de l'expression de u_n+1 : _n u_n+1 = _n (u_n^2)/(u_n + v_n) l = (l^2)/(l + l') Si l+l' 0, on peut multiplier par (l+l') : l(l + l') = l^2 l^2 + l l' = l^2 l l' = 0 Si l+l'=0, comme l 0 et l' 0 (car u_n > 0, v_n > 0), cela implique l=0 et l'=0. Dans ce cas, l l' = 0 · 0 = 0. Donc, dans tous les cas, nous avons l l' = 0. 4. **Montrer que la suite (v_n - u_n)_n N est constante. En déduire $