قم بتبسيط التعبيرات المثلثية التالية: ((pi)/(2) - x) + (pi - x) (x + (pi)/(2)) + (pi + x) (pi - x) + ((pi)/(2) + x) (x - (5pi)/(2)) + (3pi + x) + ((7pi)/(2) + x)

لنقم بتبسيط التعبيرات المثلثية التالية.

العبارة 1: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(\pi - x)$

• الخطوة 1: استخدم المتطابقات المثلثية. نعلم أن $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ و $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.
• الخطوة 2: عوض في التعبير. $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(\pi - x) = \sin(x) + \sin(x)$$
• الخطوة 3: اجمع الحدود المتشابهة. $$\sin(x) + \sin(x) = 2\sin(x)$$ التبسيط النهائي هو: $\boxed{2\sin(x)}$

العبارة 2: $\sin(x + \frac{\pi}{2}) + \cos(\pi + x)$

• الخطوة 1: استخدم المتطابقات المثلثية. نعلم أن $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$ و $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$.
• الخطوة 2: عوض في التعبير. $$\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) + \cos(\pi + x) = \cos(x) + (-\cos(x))$$
• الخطوة 3: اجمع الحدود المتشابهة. $$\cos(x) - \cos(x) = 0$$ التبسيط النهائي هو: $\boxed{0}$

العبارة 3: $\cos(\pi - x) + \sin(\frac{\pi}{2} + x)$

• الخطوة 1: استخدم المتطابقات المثلثية. نعلم أن $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ و $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$.
• الخطوة 2: عوض في التعبير. $$\cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cos(x) + \cos(x)$$
• الخطوة 3: اجمع الحدود المتشابهة. $$-\cos(x) + \cos(x) = 0$$ التبسيط النهائي هو: $\boxed{0}$

العبارة 4: $\cos(x - \frac{5\pi}{2}) + \sin(3\pi + x) + \cos(\frac{7\pi}{2} + x)$

• الخطوة 1: استخدم المتطابقات المثلثية لتبسيط كل حد.
  • $\cos(x - \frac{5\pi}{2}) = \cos(x - 2\pi - \frac{\pi}{2}) = \cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x)$
  • $\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)$ (لأن $3\pi = \pi + 2\pi$)
  • $\cos(\frac{7\pi}{2} + x) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{2} + x) = \cos(-\frac{\pi}{2} + x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$
• الخطوة 2: عوض في التعبير. $$\sin(x) + (-\sin(x)) + \sin(x)$$
• الخطوة 3: اجمع الحدود المتشابهة. $$\sin(x) - \sin(x) + \sin(x) = \sin(x)$$ التبسيط النهائي هو: $\boxed{\sin(x)}$

العبارة 5: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(\pi - x) + \cos(\frac{3\pi}{2} - x) - 2\cos(2\pi - x)$

• الخطوة 1: استخدم المتطابقات المثلثية لتبسيط كل حد.
  • $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$
  • $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$
  • $\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2} - x) = -\cos(\frac{\pi}{2} - x) = -\sin(x)$
  • $\cos(2\pi - x) = \cos(-x) = \cos(x)$
• الخطوة 2: عوض في التعبير. $$\sin(x) + (-\cos(x)) + (-\sin(x)) - 2\cos(x)$$
• الخطوة 3: اجمع الحدود المتشابهة. $$\sin(x) - \cos(x) - \sin(x) - 2\cos(x) = -3\cos(x)$$ التبسيط النهائي هو: $\boxed{-3\cos(x)}$