ಕೆಳಗಿನವು ಯಾವುದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢೀಯಾಗಿದೆ? ಸಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅದರ ಮುಂದಿನ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

यहाँ आपके प्रश्नों के उत्तर दिए गए हैं:

3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों के लिए पहला पद और सामान्य अंतर लिखिए।

• i) 3, 1, -1, -3, ...

  • पहला पद ($a$): $\boxed{3}$
  • सामान्य अंतर ($d$): $1 - 3 = \boxed{-2}$

• ii) -5, -1, 3, 7, ...

  • पहला पद ($a$): $\boxed{-5}$
  • सामान्य अंतर ($d$): $-1 - (-5) = -1 + 5 = \boxed{4}$

• iii) $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, ...$

  • पहला पद ($a$): $\boxed{\frac{1}{3}}$
  • सामान्य अंतर ($d$): $\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \boxed{\frac{4}{3}}$

• iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ...

  • पहला पद ($a$): $\boxed{0.6}$
  • सामान्य अंतर ($d$): $1.7 - 0.6 = \boxed{1.1}$

4. इनमें से कौन सी समांतर श्रेढ़ी है? यदि कोई समांतर श्रेढ़ी है, तो उसका सामान्य अंतर ज्ञात कीजिए और उसके अगले तीन पद लिखिए।

• i) 2, 4, 8, 16, ...

  • $a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$
  • $a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$
  • चूंकि अंतर समान नहीं है, यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

• ii) $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, ...$

  • $a_2 - a_1 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2}$
  • $a_3 - a_2 = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$
  • $a_4 - a_3 = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2}$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{\frac{1}{2}}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = \boxed{4}$
    • $a_6 = 4 + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{9}{2}}$
    • $a_7 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = \boxed{5}$

• iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ...

  • $a_2 - a_1 = -3.2 - (-1.2) = -3.2 + 1.2 = -2.0$
  • $a_3 - a_2 = -5.2 - (-3.2) = -5.2 + 3.2 = -2.0$
  • $a_4 - a_3 = -7.2 - (-5.2) = -7.2 + 5.2 = -2.0$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{-2.0}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = -7.2 + (-2.0) = \boxed{-9.2}$
    • $a_6 = -9.2 + (-2.0) = \boxed{-11.2}$
    • $a_7 = -11.2 + (-2.0) = \boxed{-13.2}$

• iv) -10, -6, -2, 2, ...

  • $a_2 - a_1 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$
  • $a_3 - a_2 = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$
  • $a_4 - a_3 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{4}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = 2 + 4 = \boxed{6}$
    • $a_6 = 6 + 4 = \boxed{10}$
    • $a_7 = 10 + 4 = \boxed{14}$

• v) $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, ...$

  • $a_2 - a_1 = (3+\sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}$
  • $a_3 - a_2 = (3+2\sqrt{2}) - (3+\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
  • $a_4 - a_3 = (3+3\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{\sqrt{2}}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = (3+3\sqrt{2}) + \sqrt{2} = \boxed{3+4\sqrt{2}}$
    • $a_6 = (3+4\sqrt{2}) + \sqrt{2} = \boxed{3+5\sqrt{2}}$
    • $a_7 = (3+5\sqrt{2}) + \sqrt{2} = \boxed{3+6\sqrt{2}}$

• vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ...

  • $a_2 - a_1 = 0.22 - 0.2 = 0.02$
  • $a_3 - a_2 = 0.222 - 0.22 = 0.002$
  • चूंकि अंतर समान नहीं है, यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

• vii) 0, -4, -8, -12, ...

  • $a_2 - a_1 = -4 - 0 = -4$
  • $a_3 - a_2 = -8 - (-4) = -4$
  • $a_4 - a_3 = -12 - (-8) = -4$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{-4}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = -12 + (-4) = \boxed{-16}$
    • $a_6 = -16 + (-4) = \boxed{-20}$
    • $a_7 = -20 + (-4) = \boxed{-24}$

• viii) $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, ...$

  • $a_2 - a_1 = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 0$
  • $a_3 - a_2 = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 0$
  • $a_4 - a_3 = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 0$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{0}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = -\frac{1}{2} + 0 = \boxed{-\frac{1}{2}}$
    • $a_6 = -\frac{1}{2} + 0 = \boxed{-\frac{1}{2}}$
    • $a_7 = -\frac{1}{2} + 0 = \boxed{-\frac{1}{2}}$

• ix) 1, 3, 9, 27, ...

  • $a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$
  • $a_3 - a_2 = 9 - 3 = 6$
  • चूंकि अंतर समान नहीं है, यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

• x) a, 2a, 3a, 4a, ...

  • $a_2 - a_1 = 2a - a = a$
  • $a_3 - a_2 = 3a - 2a = a$
  • $a_4 - a_3 = 4a - 3a = a$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{a}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = 4a + a = \boxed{5a}$
    • $a_6 = 5a + a = \boxed{6a}$
    • $a_7 = 6a + a = \boxed{7a}$

• xi) $a, a^2, a^3, a^4, ...$

  • $a_2 - a_1 = a^2 - a = a(a-1)$
  • $a_3 - a_2 = a^3 - a^2 = a^2(a-1)$
  • चूंकि अंतर समान नहीं है (जब तक $a=0$ या $a=1$ न हो), यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

• xii) $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, ...$

  • पदों को सरल करें: $\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, ...$
  • $a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
  • $a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
  • $a_4 - a_3 = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{\sqrt{2}}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \boxed{\sqrt{50}}$
    • $a_6 = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \boxed{\sqrt{72}}$
    • $a_7 = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \boxed{\sqrt{98}}$

• xiii) $\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, ...$

  • $a_2 - a_1 = \sqrt{6} - \sqrt{3}$
  • $a_3 - a_2 = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6}$
  • चूंकि अंतर समान नहीं है, यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

• xiv) $1^2, 5^2, 7^2, 73, ...$

  • पदों को सरल करें: $1, 25, 49, 73, ...$
  • $a_2 - a_1 = 25 - 1 = 24$
  • $a_3 - a_2 = 49 - 25 = 24$
  • $a_4 - a_3 = 73 - 49 = 24$
  • यह एक समांतर श्रेढ़ी है।
  • सामान्य अंतर ($d$): $\boxed{24}$
  • अगले तीन पद:
    • $a_5 = 73 + 24 = \boxed{97}$
    • $a_6 = 97 + 24 = \boxed{121}$
    • $a_7 = 121 + 24 = \boxed{145}$

• xv) $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, ...$

  • पदों को सरल करें: $1, 9, 25, 49, ...$
  • $a_2 - a_1 = 9 - 1 = 8$
  • $a_3 - a_2 = 25 - 9 = 16$
  • चूंकि अंतर समान नहीं है, यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है।