√5 అనేది కరణీయ సంఖ్య

Step 1: दिया गया कथन है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। हमें यह निर्धारित करना है कि यह कथन सत्य है या असत्य।

Step 2: हम विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। यदि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है, तो इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं, $q \neq 0$, और $p$ तथा $q$ सह-अभाज्य हैं (अर्थात, उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)। $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$

Step 3: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sqrt{5})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$ $5 = \frac{p^2}{q^2}$ $5q^2 = p^2 \quad \ldots(1)$ इसका अर्थ है कि $p^2$, 5 से विभाज्य है। यदि $p^2$, 5 से विभाज्य है, तो $p$ भी 5 से विभाज्य होगा (क्योंकि 5 एक अभाज्य संख्या है)।

Step 4: चूंकि $p$, 5 से विभाज्य है, हम $p = 5k$ लिख सकते हैं, जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है। इस मान को समीकरण (1) में रखने पर: $5q^2 = (5k)^2$ $5q^2 = 25k^2$

Step 5: दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर: $q^2 = 5k^2$ इसका अर्थ है कि $q^2$, 5 से विभाज्य है। यदि $q^2$, 5 से विभाज्य है, तो $q$ भी 5 से विभाज्य होगा।

Step 6: हमने पाया कि $p$ और $q$ दोनों 5 से विभाज्य हैं। यह हमारी प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है कि $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं (अर्थात, उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)।

Step 7: चूंकि हमारी धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है, इसलिए हमारी प्रारंभिक धारणा कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है, गलत होनी चाहिए। अतः, $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Step 8: इसलिए, दिया गया कथन "$\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है" असत्य है।

$\boxed{कथन असत्य है, \sqrt{5} एक अपरिमेय संख्या है।}$