तीनवटा विषयहरू विज्ञान, गणित र नेपालीमा विद्यार्थीहरूको उत्तीर्ण प्रतिशत निम्न अनुसार छ: विज्ञानमा उत्तीर्ण = ४०% गणितमा उत्तीर्ण = ४५% नेपालीमा उत्तीर्ण = ५०% विज्ञान र गणितमा उत्तीर्ण = १०% गणित र न

यहाँ दिइएको जानकारी अनुसार, हामीले निम्न प्रतिशतहरू पत्ता लगाउन सक्छौं:

• विज्ञानमा उत्तीर्ण ($P(S)$) = $40\%$
• गणितमा उत्तीर्ण ($P(M)$) = $45\%$
• नेपालीमा उत्तीर्ण ($P(N)$) = $50\%$
• विज्ञान र गणितमा उत्तीर्ण ($P(S \cap M)$) = $10\%$
• गणित र नेपालीमा उत्तीर्ण ($P(M \cap N)$) = $20\%$
• विज्ञान र नेपालीमा उत्तीर्ण ($P(S \cap N)$) = $15\%$
• तीनवटै विषयमा अनुत्तीर्ण ($P(S' \cap M' \cap N')$) = $5\%$

क) तीनवटै विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउनुहोस्।

पहिला, कम्तीमा एउटा विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउँछौं: $P(S \cup M \cup N) = 100\% - P(S' \cap M' \cap N')$ $P(S \cup M \cup N) = 100\% - 5\% = 95\%$

अब, समावेश-बहिष्करण सिद्धान्त (Principle of Inclusion-Exclusion) प्रयोग गरेर तीनवटै विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउँछौं: $P(S \cup M \cup N) = P(S) + P(M) + P(N) - P(S \cap M) - P(M \cap N) - P(S \cap N) + P(S \cap M \cap N)$ $95\% = 40\% + 45\% + 50\% - 10\% - 20\% - 15\% + P(S \cap M \cap N)$ $95\% = 135\% - 45\% + P(S \cap M \cap N)$ $95\% = 90\% + P(S \cap M \cap N)$ $P(S \cap M \cap N) = 95\% - 90\%$ $P(S \cap M \cap N) = 5\%$ तीनवटै विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत: $\boxed{*5\%*}$

ख) एउटा मात्र विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउनुहोस्।

पहिला, प्रत्येक विषयमा मात्र उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउँछौं:

• विज्ञानमा मात्र उत्तीर्ण ($P(S मात्र)$): $P(S मात्र) = P(S) - P(S \cap M) - P(S \cap N) + P(S \cap M \cap N)$ $P(S मात्र) = 40\% - 10\% - 15\% + 5\% = 20\%$
• गणितमा मात्र उत्तीर्ण ($P(M मात्र)$): $P(M मात्र) = P(M) - P(S \cap M) - P(M \cap N) + P(S \cap M \cap N)$ $P(M मात्र) = 45\% - 10\% - 20\% + 5\% = 20\%$
• नेपालीमा मात्र उत्तीर्ण ($P(N मात्र)$): $P(N मात्र) = P(N) - P(M \cap N) - P(S \cap N) + P(S \cap M \cap N)$ $P(N मात्र) = 50\% - 20\% - 15\% + 5\% = 20\%$

अब, एउटा मात्र विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउन यी सबैलाई जोड्छौं: $P(एउटा मात्र विषयमा) = P(S मात्र) + P(M मात्र) + P(N मात्र)$ $P(एउटा मात्र विषयमा) = 20\% + 20\% + 20\% = 60\%$ एउटा मात्र विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत: $\boxed{*60\%*}$

ग) दुईओटा मात्र विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउनुहोस्।

दुईओटा मात्र विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउन, हामी निम्न सूत्र प्रयोग गर्छौं:

• विज्ञान र गणितमा मात्र उत्तीर्ण ($P(S \cap M मात्र)$): $P(S \cap M मात्र) = P(S \cap M) - P(S \cap M \cap N)$ $P(S \cap M मात्र) = 10\% - 5\% = 5\%$
• गणित र नेपालीमा मात्र उत्तीर्ण ($P(M \cap N मात्र)$): $P(M \cap N मात्र) = P(M \cap N) - P(S \cap M \cap N)$ $P(M \cap N मात्र) = 20\% - 5\% = 15\%$
• विज्ञान र नेपालीमा मात्र उत्तीर्ण ($P(S \cap N मात्र)$): $P(S \cap N मात्र) = P(S \cap N) - P(S \cap M \cap N)$ $P(S \cap N मात्र) = 15\% - 5\% = 10\%$

अब, दुईओटा मात्र विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउन यी सबैलाई जोड्छौं: $P(दुईओटा मात्र विषयमा) = P(S \cap M मात्र) + P(M \cap N मात्र) + P(S \cap N मात्र)$ $P(दुईओटा मात्र विषयमा) = 5\% + 15\% + 10\% = 30\%$ दुईओटा मात्र विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत: $\boxed{*30\%*}$

घ) कम्तीमा एउटा विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउनुहोस्।

कम्तीमा एउटा विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत पत्ता लगाउन, हामी कुल विद्यार्थीको प्रतिशतबाट कुनै पनि विषयमा अनुत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत घटाउँछौं: $P(S \cup M \cup N) = 100\% - P(S' \cap M' \cap N')$ $P(S \cup M \cup N) = 100\% - 5\% = 95\%$ कम्तीमा एउटा विषयमा उत्तीर्ण हुने विद्यार्थीको प्रतिशत: $\boxed{*95\%*}$

ङ) माथिको तथ्यलाई भेनचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस्।

भेन चित्रका विभिन्न क्षेत्रहरूमा विद्यार्थीको प्रतिशत निम्नानुसार छन्:

• विज्ञानमा मात्र उत्तीर्ण ($S$ मात्र): $\text{*20\%*}$
• गणितमा मात्र उत्तीर्ण ($M$ मात्र): $\text{*20\%*}$
• नेपालीमा मात्र उत्तीर्ण ($N$ मात्र): $\text{*20\%*}$
• विज्ञान र गणितमा मात्र उत्तीर्ण ($S \cap M$ मात्र): $\text{*5\%*}$
• गणित र नेपालीमा मात्र उत्तीर्ण ($M \cap N$ मात्र): $\text{*15\%*}$
• विज्ञान र नेपालीमा मात्र उत्तीर्ण ($S \cap N$ मात्र): $\text{*10\%*}$
• तीनवटै विषयमा उत्तीर्ण ($S \cap M \cap N$): $\text{*5\%*}$
• कुनै पनि विषयमा अनुत्तीर्ण ($S' \cap M' \cap N'$): $\text{*5\%*}$

यी मानहरूलाई भेन चित्रमा राख्दा, प्रत्येक क्षेत्रको प्रतिशत स्पष्ट हुन्छ। (भेन चित्र यहाँ टेक्स्टमा बनाउन सम्भव छैन, तर माथिका मानहरू भेन चित्रमा भर्न सकिन्छ।)