ساده کردن رادیکال‌های مرکب

در ادامه حل سوالات شما:

826. شکل ساده $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ مساوی است به:

Step 1: عبارت زیر رادیکال را به فرم $(a-b)^2$ تبدیل می‌کنیم.
برای این کار، $4\sqrt{5}$ را به $2\sqrt{B}$ تبدیل می‌کنیم:

$$4\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{2^2 \cdot 5} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{20}$$

Step 2: اکنون عبارت زیر رادیکال به شکل $9 - 2\sqrt{20}$ است. ما به دنبال دو عدد هستیم که مجموعشان 9 و حاصل ضربشان 20 باشد. این دو عدد 5 و 4 هستند.
پس می‌توانیم بنویسیم:

$$9 - 2\sqrt{20} = 5 + 4 - 2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{4})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} = (\sqrt{5} - \sqrt{4})^2$$

Step 3: عبارت را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}$$

Step 4: از آنجایی که $\sqrt{5} \approx 2.236$، پس $\sqrt{5} - 2$ یک عدد مثبت است. بنابراین:

$$\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = \sqrt{5} - 2$$

پاسخ نهایی:

$$\boxed{\sqrt{5} - 2}$$

این گزینه (3) است.

827. شکل ساده $\sqrt{5 + 2\sqrt{4 + \sqrt{3 + \sqrt{1}}}}$ مساوی است به:

Step 1: از داخلی‌ترین رادیکال شروع به ساده‌سازی می‌کنیم:

$$\sqrt{1} = 1$$

Step 2: عبارت بعدی را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt{3 + \sqrt{1}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Step 3: عبارت بعدی را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$$

Step 4: اکنون کل عبارت به شکل $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ درآمده است.
برای ساده‌سازی $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$، به دنبال دو عدد هستیم که مجموعشان 5 و حاصل ضربشان 6 باشد. این دو عدد 3 و 2 هستند.
پس می‌توانیم بنویسیم:

$$5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$$

Step 5: عبارت نهایی را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}$$

از آنجایی که $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ یک عدد مثبت است:

$$\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$

پاسخ نهایی:

$$\boxed{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$$

این گزینه (1) است.

828. افاده $\sqrt[3]{127 - \sqrt[4]{19 - \sqrt{11 + \sqrt[3]{-8}}}}$ مساوی است به:

Step 1: از داخلی‌ترین رادیکال شروع به ساده‌سازی می‌کنیم:

$$\sqrt[3]{-8} = -2$$

Step 2: عبارت بعدی را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt{11 + \sqrt[3]{-8}} = \sqrt{11 + (-2)} = \sqrt{11 - 2} = \sqrt{9} = 3$$

Step 3: عبارت بعدی را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt[4]{19 - 3} = \sqrt[4]{16}$$

از آنجایی که $2^4 = 16$:

$$\sqrt[4]{16} = 2$$

Step 4: اکنون کل عبارت به شکل $\sqrt[3]{127 - 2}$ درآمده است.

$$\sqrt[3]{127 - 2} = \sqrt[3]{125}$$

Step 5: عبارت نهایی را ساده می‌کنیم:
از آنجایی که $5^3 = 125$:

$$\sqrt[3]{125} = 5$$

پاسخ نهایی:

$$\boxed{5}$$

توجه: پاسخ محاسبه شده (5) در بین گزینه‌های داده شده (2، 3، 4) نیست.

829. اوسط حسابی $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ و $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ مساوی است به:

Step 1: ابتدا عبارت اول را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$$

به دنبال دو عدد هستیم که مجموعشان 5 و حاصل ضربشان 6 باشد. این دو عدد 3 و 2 هستند.

$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$

Step 2: سپس عبارت دوم را ساده می‌کنیم:

$$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$$

به دنبال دو عدد هستیم که مجموعشان 5 و حاصل ضربشان 6 باشد. این دو عدد 3 و 2 هستند.

$$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}$$

از آنجایی که $\sqrt{3} \approx 1.732$ و $\sqrt{2} \approx 1.414$، پس $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ یک عدد مثبت است.

$$\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$

Step 3: اوسط حسابی (میانگین) دو عدد $a$ و $b$ برابر با $\frac{a+b}{2}$ است.

$$\text{اوسط حسابی} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{2}$$

Step 4: صورت کسر را ساده می‌کنیم:

$$$$