कुल बाधाओं की संख्या ज्ञात करें।

एक संतुलित असाइनमेंट समस्या के लिए, यदि $n$ कार्य और $n$ व्यक्ति हैं, तो कुल $n$ पंक्ति बाधाएँ (प्रत्येक कार्य के लिए एक) और $n$ स्तंभ बाधाएँ (प्रत्येक व्यक्ति के लिए एक) होती हैं।

Step 1: कुल बाधाओं की संख्या ज्ञात करें। कुल बाधाएँ $n$ (पंक्ति) + $n$ (स्तंभ) $= 2n$ होती हैं। इस समस्या में, $n = 10$ (10 कार्य और 10 व्यक्ति)। तो, कुल बाधाएँ $2 \times 10 = 20$ हैं।

Step 2: रैखिक रूप से स्वतंत्र बाधाओं की संख्या ज्ञात करें। एक संतुलित असाइनमेंट समस्या में, कुल $2n$ बाधाओं में से, एक बाधा रैखिक रूप से निर्भर होती है। इसका मतलब है कि यदि आप सभी पंक्ति बाधाओं को जोड़ते हैं, तो आपको वही परिणाम मिलता है जो सभी स्तंभ बाधाओं को जोड़ने पर मिलता है। इसलिए, रैखिक रूप से स्वतंत्र बाधाओं की संख्या $2n - 1$ होती है।

Step 3: मानों को प्रतिस्थापित करें और गणना करें। रैखिक रूप से स्वतंत्र बाधाओं की संख्या $= 2n - 1 = 2(10) - 1 = 20 - 1 = 19$.

इसलिए, रैखिक रूप से स्वतंत्र बाधाओं की संख्या 19 है।

यह विकल्प (3) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{19}$