This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
दिए गए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का द्वैत समस्या (dual problem) में कुल बाधाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें पहले मूल समस्या को मानक रूप में बदलना होगा। मूल समस्या (Primal Problem) है: Minimize Z = x_1 + x_2 + x_3 Subject to: 1. x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 5 2. 2x_1 - 2x_2 ≤ -3 3. 2x_2 - 2x_3 ≥ 5 और x_1, x_2 ≥ 0, x_3 चिन्ह में अप्रतिबंधित है। Step 1: मूल समस्या को मानक न्यूनतमकरण रूप में परिवर्तित करें। एक न्यूनतमकरण समस्या के लिए मानक रूप है: Ax ≥ b, x ≥ 0। a) अप्रतिबंधित चर x_3 को संभालें: x_3 = x_3' - x_3'' मान लें, जहाँ x_3' ≥ 0 और x_3'' ≥ 0। अब चर हैं: x_1, x_2, x_3', x_3'', सभी ≥ 0। (कुल 4 चर) उद्देश्य फलन बन जाता है: Minimize Z = x_1 + x_2 + x_3' - x_3'' b) समानता बाधा (1) को संभालें: x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 5 यह दो असमानताओं के बराबर है: x_1 - 3x_2 + 4x_3' - 4x_3'' ≥ 5 x_1 - 3x_2 + 4x_3' - 4x_3'' ≤ 5 -x_1 + 3x_2 - 4x_3' + 4x_3'' ≥ -5 c) ≤ बाधा (2) को संभालें: 2x_1 - 2x_2 ≤ -3 इसे ≥ में बदलने के लिए -1 से गुणा करें: -2x_1 + 2x_2 ≥ 3 d) बाधा (3) को संभालें: 2x_2 - 2x_3 ≥ 5 x_3 को प्रतिस्थापित करें: 2x_2 - 2x_3' + 2x_3'' ≥ 5 अब, मानक रूप में मूल समस्या है: Minimize Z = x_1 + x_2 + x_3' - x_3'' Subject to: C_1': x_1 - 3x_2 + 4x_3' - 4x_3'' ≥ 5 C_2': -x_1 + 3x_2 - 4x_3' + 4x_3'' ≥ -5 C_3': -2x_1 + 2x_2 ≥ 3 C_4': 2x_2 - 2x_3' + 2x_3'' ≥ 5 x_1, x_2, x_3', x_3'' ≥ 0 Step 2: मानक रूप में मूल समस्या के चर और बाधाओं की संख्या निर्धारित करें। मानक रूप में मूल चर की संख्या (n') = 4 (x_1, x_2, x_3', x_3'') मानक रूप में मूल बाधाओं की संख्या (m') = 4 (C_1', C_2', C_3', C_4') Step 3: मानक रूप में मूल समस्या से द्वैत समस्या का निर्माण करें। एक मानक न्यूनतमकरण समस्या (Ax ≥ b, x ≥ 0) का द्वैत एक अधिकतमकरण समस्या (Max W = b^T y, A^T y ≤ c, y ≥ 0) होती है। • द्वैत चर की संख्या = मूल बाधाओं की संख्या (m') = 4। चूंकि सभी मूल बाधाएँ ≥ प्रकार की हैं, इसलिए सभी द्वैत चर (y_1, y_2, y_3, y_4) ≥ 0 होंगे। यह 4 गैर-नकारात्मकता बाधाएँ देता है। • द्वैत बाधाओं की संख्या = मूल चर की संख्या (n') = 4। चूंकि सभी मूल चर ≥ 0 हैं, इसलिए सभी द्वैत बाधाएँ ≤ प्रकार की होंगी। यह 4 संरचनात्मक बाधाएँ देता है। Step 4: द्वैत समस्या में कुल बाधाओं की संख्या की गणना करें। कुल बाधाएँ = (द्वैत में संरचनात्मक बाधाओं की संख्या) + (द्वैत चर पर गैर-नकारात्मकता बाधाओं की संख्या) कुल बाधाएँ = 4 + 4 = 8 इसलिए, द्वैत समस्या में कुल बाधाओं की संख्या 8 है। The final answer is 8 अगला प्रश्न भेजें 📸