Question 7: For a network two roads link town A to town B, one road links town A to town C and two roads link town B to town C. Find the number of: a) nodes (towns) b) arcs (roads) c) regions

Voici les solutions pour les questions sur le réseau routier :

a) Déterminer le nombre de nœuds (villes).

Step 1: Identifier toutes les villes mentionnées dans la description du réseau. Les villes mentionnées sont A, B et C.

Step 2: Compter le nombre de villes identifiées. Il y a $3$ villes distinctes. Le nombre de nœuds (villes) est $\boxed{3}$.

b) Déterminer le nombre d'arcs (routes).

Step 1: Compter les routes entre chaque paire de villes. • Deux routes relient la ville A à la ville B. • Une route relie la ville A à la ville C. • Deux routes relient la ville B à la ville C.

Step 2: Additionner le nombre total de routes. $2 (A à B) + 1 (A à C) + 2 (B à C) = 5$ Le nombre d'arcs (routes) est $\boxed{5}$.

c) Déterminer le nombre de régions.

Step 1: Utiliser la formule d'Euler pour les graphes planaires. Pour un graphe planaire connexe, la formule d'Euler est $V - E + F = 2$, où $V$ est le nombre de sommets (nœuds), $E$ est le nombre d'arêtes (arcs) et $F$ est le nombre de faces (régions).

Step 2: Substituer les valeurs de $V$ et $E$ trouvées précédemment. Nous avons $V = 3$ (nœuds) et $E = 5$ (arcs). $3 - 5 + F = 2$

Step 3: Résoudre l'équation pour $F$. $-2 + F = 2$ $F = 2 + 2$ $F = 4$ Le nombre de régions est $\boxed{4}$.

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