Résoudre l'équation différentielle y'' + 5y' - 6y = 0 et trouver la solution vérifiant f(0)=1 et f'(0)=2.

1.a) Résoudre l'équation différentielle $(E_1): y'' + 5y' - 6y = 0$.

Step 1: Écrire l'équation caractéristique.
L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle $y'' + 5y' - 6y = 0$ est:

$$r^2 + 5r - 6 = 0$$

Step 2: Résoudre l'équation caractéristique.
Nous pouvons factoriser l'équation quadratique:

$$(r+6)(r-1) = 0$$

Les racines sont $r_1 = 1$ et $r_2 = -6$.

Step 3: Écrire la solution générale.
Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est de la forme $f(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.

$$f(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-6x}$$

La solution générale est $\boxed{f(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-6x}}$.

1.b) Déterminer la fonction $f$ solution de $(E_1)$ vérifiant $f(0)=1$ et $f'(0)=2$.

Step 1: Appliquer la condition initiale $f(0)=1$.
En substituant $x=0$ dans la solution générale:

$$f(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{-6(0)} = C_1 + C_2$$

Puisque $f(0)=1$, nous avons:

$$C_1 + C_2 = 1 \quad (1)$$

Step 2: Calculer la dérivée de $f(x)$.

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(C_1 e^{x} + C_2 e^{-6x}) = C_1 e^{x} - 6C_2 e^{-6x}$$

Step 3: Appliquer la condition initiale $f'(0)=2$.
En substituant $x=0$ dans $f'(x)$:

$$f'(0) = C_1 e^{0} - 6C_2 e^{-6(0)} = C_1 - 6C_2$$

Puisque $f'(0)=2$, nous avons:

$$C_1 - 6C_2 = 2 \quad (2)$$

Step 4: Résoudre le système d'équations pour $C_1$ et $C_2$.
Nous avons le système:

$$\begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ C_1 - 6C_2 = 2 \end{cases}$$

Soustraire l'équation (2) de l'équation (1):

$$(C_1 + C_2) - (C_1 - 6C_2) = 1 - 2$$ $$7C_2 = -1 \implies C_2 = -\frac{1}{7}$$

Substituer $C_2 = -\frac{1}{7}$ dans l'équation (1):

$$C_1 - \frac{1}{7} = 1 \implies C_1 = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$$

Step 5: Écrire la solution particulière.
En substituant les valeurs de $C_1$ et $C_2$ dans la solution générale:

$$f(x) = \frac{8}{7} e^{x} - \frac{1}{7} e^{-6x}$$

La solution particulière est $\boxed{f(x) = \frac{8}{7} e^{x} - \frac{1}{7} e^{-6x}}$.

2.a) Résoudre l'équation différentielle $(E_2): 4y'' - 12y' + 9y = 0$.

Step 1: Écrire l'équation caractéristique.
L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle $4y'' - 12y' + 9y = 0$ est:

$$4r^2 - 12r + 9 = 0$$

Step 2: Résoudre l'équation caractéristique.
Cette équation est un carré parfait:

$$(2r - 3)^2 = 0$$

La racine est $r = \frac{3}{2}$ (racine réelle double).

Step 3: Écrire la solution générale.
Puisque la racine est réelle et double, la solution générale est de la forme $g(x) = (C_1 x + C_2) e^{rx}$.

$$g(x) = (C_1 x + C_2) e^{\frac{3}{2}x}$$

La solution générale est $\boxed{g(x) = (C_1 x + C_2) e^{\frac{3}{2}x}}$.

2.b) Déterminer la fonction $g$ solution de $(E_2)$ vérifiant $g(0)=4$ et $g'(0)=-2$.

Step 1: Appliquer la condition initiale $g(0)=4$.
En substituant $x=0$ dans la solution générale:

$$g(0) = (C_1 \cdot 0 + C_2) e^{\frac{3}{2}(0)} = C_2 e^0 = C_2$$

Puisque $g(0)=4$, nous avons:

$$C_2 = 4$$

Step 2: Calculer la dérivée de $g(x)$.
Utilisons la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = C_1 x + C_2$ et $v = e^{\frac{3}{2}x}$.

$$g'(x) = C_1 e^{\frac{3}{2}x} + (C_1 x + C_2) \left(\frac{3}{2} e^{\frac{3}{2}x}\right)$$ $$g'(x) = e^{\frac{3}{2}x} \left(C_1 + \frac{3}{2}(C_1 x + C_2)\right)$$

Step 3: Appliquer la condition initiale $g'(0)=-2$.
En substituant $x=0$ dans $g'(x)$:

$$g'(0) = e^{\frac{3}{2}(0)} \left(C_1 + \frac{3}{2}(C_1 \cdot 0 + C_2)\right) = 1 \cdot \left(C_1 + \frac{3}{2}C_2\right)$$

Puisque $g'(0)=-2$, nous avons:

$$C_1 + \frac{3}{2}C_2 = -2$$

Step 4: Résoudre pour $C_1$.
Nous avons $C_2 = 4$. Substituons cette valeur:

$$C_1 + \frac{3}{2}(4) = -2$$ $$C_1 + 6 = -2$$ $$C_1 = -8$$

Step 5: Écrire la solution particulière.
En substituant les valeurs de $C_1$ et $C_2$ dans la solution générale:

$$g(x) = (-8x + 4) e^{\frac{3}{2}x}$$

La solution particulière est $\boxed{g(x) = (-8x + 4) e^{\frac{3}{2}x}}$.

3.a) Résoudre l'équation différentielle $(E_3): y'' + 2y' + 10y = 0$.

Step 1: Écrire l'équation caractéristique.
L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle $y'' + 2y' + 10y = 0$ est:

$$r^2 + 2r + 10 = 0$$

Step 2: Résoudre l'équation caractéristique.
Utilisons la formule quadratique $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}$$ $$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2}$$ $$r = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2}$$ $$r = \frac{-2 \pm 6i}{2}$$

Les racines sont $r_1 = -1 + 3i$ et $r_2 = -1 - 3i$.

Step 3: Écrire la solution générale.
Puisque les racines sont complexes conjuguées de la forme $\alpha \pm i\beta$, où $\alpha = -1$ et $\beta = 3$, la solution générale est de la forme $h(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.

$$h(x) = e^{-x} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))$$

La solution générale est $\boxed{h(x) = e^{-x} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))}$.

3.b) Déterminer la fonction $h$ solution de $(E_3)$ vérifiant $h(0)=1$ et $h'(0)=-6$.

Step 1: Appliquer la condition initiale $h(0)=1$.
En substituant $x=0$ dans la solution générale:

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