This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Welcome back — missed you this week. 1.a) Résoudre l'équation différentielle (E_1): y'' + 5y' - 6y = 0. Step 1: Écrire l'équation caractéristique. L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle y'' + 5y' - 6y = 0 est: r^2 + 5r - 6 = 0 Step 2: Résoudre l'équation caractéristique. Nous pouvons factoriser l'équation quadratique: (r+6)(r-1) = 0 Les racines sont r_1 = 1 et r_2 = -6. Step 3: Écrire la solution générale. Puisque les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est de la forme f(x) = C_1 e^r_1 x + C_2 e^r_2 x. f(x) = C_1 e^x + C_2 e^-6x La solution générale est f(x) = C_1 e^x + C_2 e^-6x. 1.b) Déterminer la fonction f solution de (E_1) vérifiant f(0)=1 et f'(0)=2. Step 1: Appliquer la condition initiale f(0)=1. En substituant x=0 dans la solution générale: f(0) = C_1 e^0 + C_2 e^-6(0) = C_1 + C_2 Puisque f(0)=1, nous avons: C_1 + C_2 = 1 (1) Step 2: Calculer la dérivée de f(x). f'(x) = (d)/(dx)(C_1 e^x + C_2 e^-6x) = C_1 e^x - 6C_2 e^-6x Step 3: Appliquer la condition initiale f'(0)=2. En substituant x=0 dans f'(x): f'(0) = C_1 e^0 - 6C_2 e^-6(0) = C_1 - 6C_2 Puisque f'(0)=2, nous avons: C_1 - 6C_2 = 2 (2) Step 4: Résoudre le système d'équations pour C_1 et C_2. Nous avons le système: C_1 + C_2 = 1 \\ C_1 - 6C_2 = 2 Soustraire l'équation (2) de l'équation (1): (C_1 + C_2) - (C_1 - 6C_2) = 1 - 2 7C_2 = -1 C_2 = -(1)/(7) Substituer C_2 = -(1)/(7) dans l'équation (1): C_1 - (1)/(7) = 1 C_1 = 1 + (1)/(7) = (8)/(7) Step 5: Écrire la solution particulière. En substituant les valeurs de C_1 et C_2 dans la solution générale: f(x) = (8)/(7) e^x - (1)/(7) e^-6x La solution particulière est f(x) = (8)/(7) e^x - (1)/(7) e^-6x. 2.a) Résoudre l'équation différentielle (E_2): 4y'' - 12y' + 9y = 0. Step 1: Écrire l'équation caractéristique. L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle 4y'' - 12y' + 9y = 0 est: 4r^2 - 12r + 9 = 0 Step 2: Résoudre l'équation caractéristique. Cette équation est un carré parfait: (2r - 3)^2 = 0 La racine est r = (3)/(2) (racine réelle double). Step 3: Écrire la solution générale. Puisque la racine est réelle et double, la solution générale est de la forme g(x) = (C_1 x + C_2) e^rx. g(x) = (C_1 x + C_2) e^(3)/(2)x La solution générale est g(x) = (C_1 x + C_2) e^(3)/(2)x. 2.b) Déterminer la fonction g solution de (E_2) vérifiant g(0)=4 et g'(0)=-2. Step 1: Appliquer la condition initiale g(0)=4. En substituant x=0 dans la solution générale: g(0) = (C_1 · 0 + C_2) e^(3)/(2)(0) = C_2 e^0 = C_2 Puisque g(0)=4, nous avons: C_2 = 4 Step 2: Calculer la dérivée de g(x). Utilisons la règle du produit (uv)' = u'v + uv' avec u = C_1 x + C_2 et v = e^(3)/(2)x. g'(x) = C_1 e^(3)/(2)x + (C_1 x + C_2) ((3)/(2) e^(3)/(2)x) g'(x) = e^(3)/(2)x (C_1 + (3)/(2)(C_1 x + C_2)) Step 3: Appliquer la condition initiale g'(0)=-2. En substituant x=0 dans g'(x): g'(0) = e^(3)/(2)(0) (C_1 + (3)/(2)(C_1 · 0 + C_2)) = 1 · (C_1 + (3)/(2)C_2) Puisque g'(0)=-2, nous avons: C_1 + (3)/(2)C_2 = -2 Step 4: Résoudre pour C_1. Nous avons C_2 = 4. Substituons cette valeur: C_1 + (3)/(2)(4) = -2 C_1 + 6 = -2 C_1 = -8 Step 5: Écrire la solution particulière. En substituant les valeurs de C_1 et C_2 dans la solution générale: g(x) = (-8x + 4) e^(3)/(2)x La solution particulière est g(x) = (-8x + 4) e^(3)/(2)x. 3.a) Résoudre l'équation différentielle (E_3): y'' + 2y' + 10y = 0. Step 1: Écrire l'équation caractéristique. L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle y'' + 2y' + 10y = 0 est: r^2 + 2r + 10 = 0 Step 2: Résoudre l'équation caractéristique. Utilisons la formule quadratique r = -b ± sqrt(b^2 - 4ac)2a: r = -2 ± sqrt(2^2 - 4(1)(10))2(1) r = -2 ± sqrt(4 - 40)2 r = -2 ± sqrt(-36)2 r = (-2 ± 6i)/(2) Les racines sont r_1 = -1 + 3i et r_2 = -1 - 3i. Step 3: Écrire la solution générale. Puisque les racines sont complexes conjuguées de la forme ± i, où = -1 et = 3, la solution générale est de la forme h(x) = e^ x (C_1 ( x) + C_2 ( x)). h(x) = e^-x (C_1 (3x) + C_2 (3x)) La solution générale est h(x) = e^-x (C_1 (3x) + C_2 (3x)). 3.b) Déterminer la fonction h solution de (E_3) vérifiant h(0)=1 et h'(0)=-6. Step 1: Appliquer la condition initiale h(0)=1. En substituant x=0 dans la solution générale: