Résoudre les inéquations suivantes : 1) x2 - 25 + (x−5)(3x−7) 0 2) x2 - 5x + 6 0

Question

Résoudre les inéquations suivantes : 1) x2 - 25 + (x−5)(3x−7) 0 2) x2 - 5x + 6 > 0

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voici la résolution de l'Exercice N°5, qui contient plusieurs inéquations.

1) Résoudre $x^2 - 25 + (x-5)(3x-7) \le 0$

Factoriser le premier terme en utilisant l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .
$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
Substituer cette factorisation dans l'inéquation et factoriser le terme commun $(x-5)$ .
$(x-5)(x+5) + (x-5)(3x-7) \le 0$ $(x-5)[(x+5) + (3x-7)] \le 0$
Simplifier l'expression entre crochets.
$(x-5)(x+5+3x-7) \le 0$ $(x-5)(4x-2) \le 0$
Trouver les racines des facteurs et construire un tableau de signes.
Les racines sont $x-5=0 \Rightarrow x=5$ et $4x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ .

Intervalle $x-5$ $4x-2$ $(x-5)(4x-2)$
$x < \frac{1}{2}$ $-$ $-$ $+$
$\frac{1}{2} < x < 5$ $-$ $+$ $-$
$x > 5$ $+$ $+$ $+$
Déterminer l'ensemble solution pour $(x-5)(4x-2) \le 0$ .
L'expression est négative ou nulle lorsque $x$ est entre $\frac{1}{2}$ et 5, inclus.
$\boxed{S = \left[ \frac{1}{2}, 5 \right]}$
2) Résoudre $x^2 - 5x + 6 > 0$
Trouver les racines de l'équation quadratique $x^2 - 5x + 6 = 0$ .
On peut factoriser l'expression : $(x-2)(x-3) = 0$ .
Les racines sont $x=2$ et $x=3$ .
Déterminer le signe du trinôme.
Puisque le coefficient de $x^2$ est positif (1), la parabole s'ouvre vers le haut. Le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines.
$\boxed{S = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)}$
3) Résoudre $16x^2 - 8\sqrt{3}x + 3 > 0$
Calculer le discriminant $\Delta$ de l'équation $16x^2 - 8\sqrt{3}x + 3 = 0$ .
Ici, $a=16$ , $b=-8\sqrt{3}$ , $c=3$ .
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8\sqrt{3})^2 - 4(16)(3)$ $\Delta = (64 \times 3) - (64 \times 3) = 192 - 192 = 0$
Trouver la racine unique (racine double) puisque $\Delta = 0$ .
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8\sqrt{3})}{2(16)} = \frac{8\sqrt{3}}{32} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
Déterminer le signe du trinôme.
Puisque $a=16 > 0$ et $\Delta=0$ , le trinôme est toujours positif, sauf en $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ où il est nul.
L'inéquation $16x^2 - 8\sqrt{3}x + 3 > 0$ est donc vraie pour tous les réels sauf pour $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .
$\boxed{S = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\sqrt{3}}{4} \right\}}$
4) Résoudre $\frac{x^2 - 7x + 12}{-3x^2 + x - 1} < 0$
Analyser le numérateur $N(x) = x^2 - 7x + 12$ .
Les racines de $x^2 - 7x

Résoudre les inéquations suivantes : 1) x2 - 25 + (x-5)(3x-7) 0 2) x2 − 5x + 6 > 0

Step-by-step solution

Factoriser le premier terme en utilisant l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Substituer cette factorisation dans l'inéquation et factoriser le terme commun $(x-5)$ .

Simplifier l'expression entre crochets.

Trouver les racines des facteurs et construire un tableau de signes.

Déterminer l'ensemble solution pour $(x-5)(4x-2) \le 0$ .

Trouver les racines de l'équation quadratique $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Déterminer le signe du trinôme.

Calculer le discriminant $\Delta$ de l'équation $16x^2 - 8\sqrt{3}x + 3 = 0$ .

Trouver la racine unique (racine double) puisque $\Delta = 0$ .

Déterminer le signe du trinôme.

Analyser le numérateur $N(x) = x^2 - 7x + 12$ .

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Intervalle	$x-5$	$4x-2$	$(x-5)(4x-2)$
$x < \frac{1}{2}$	$-$	$-$	$+$
$\frac{1}{2} < x < 5$	$-$	$+$	$-$
$x > 5$	$+$	$+$	$+$

Résoudre les inéquations suivantes : 1) x2 - 25 + (x-5)(3x-7) 0 2) x2 − 5x + 6 > 0

Step-by-step solution

Factoriser le premier terme en utilisant l'identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b).

Substituer cette factorisation dans l'inéquation et factoriser le terme commun (x−5)(x-5)(x−5).

Simplifier l'expression entre crochets.

Trouver les racines des facteurs et construire un tableau de signes.

Déterminer l'ensemble solution pour (x−5)(4x−2)≤0(x-5)(4x-2) \le 0(x−5)(4x−2)≤0.

Trouver les racines de l'équation quadratique x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0x2−5x+6=0.

Déterminer le signe du trinôme.

Calculer le discriminant Δ\DeltaΔ de l'équation 16x2−83x+3=016x^2 - 8\sqrt{3}x + 3 = 016x2−83​x+3=0.

Trouver la racine unique (racine double) puisque Δ=0\Delta = 0Δ=0.

Déterminer le signe du trinôme.

Analyser le numérateur N(x)=x2−7x+12N(x) = x^2 - 7x + 12N(x)=x2−7x+12.

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