Résoudre les inéquations suivantes : 1) x2 - 25 + (x-5)(3x-7) 0 2) x2 - 5x + 6 > 0

You're on a roll — voici la résolution de l'Exercice N°5, qui contient plusieurs inéquations. 1) Résoudre x^2 - 25 + (x-5)(3x-7) 0 Step 1: Factoriser le premier terme en utilisant l'identité remarquable a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). x^2 - 25 = (x-5)(x+5) Step 2: Substituer cette factorisation dans l'inéquation et factoriser le terme commun (x-5). (x-5)(x+5) + (x-5)(3x-7) 0 (x-5)[(x+5) + (3x-7)] 0 Step 3: Simplifier l'expression entre crochets. (x-5)(x+5+3x-7) 0 (x-5)(4x-2) 0 Step 4: Trouver les racines des facteurs et construire un tableau de signes. Les racines sont x-5=0 x=5 et 4x-2=0 x=(2)/(4)=(1)/(2). | Intervalle | x-5 | 4x-2 | (x-5)(4x-2) | |----------------------|-------|--------|---------------| | x < (1)/(2) | - | - | + | | (1)/(2) < x < 5| - | + | - | | x > 5 | + | + | + | Step 5: Déterminer l'ensemble solution pour (x-5)(4x-2) 0. L'expression est négative ou nulle lorsque x est entre (1)/(2) et 5, inclus. S = [ (1)/(2), 5 ] 2) Résoudre x^2 - 5x + 6 > 0 Step 1: Trouver les racines de l'équation quadratique x^2 - 5x + 6 = 0. On peut factoriser l'expression : (x-2)(x-3) = 0. Les racines sont x=2 et x=3. Step 2: Déterminer le signe du trinôme. Puisque le coefficient de x^2 est positif (1), la parabole s'ouvre vers le haut. Le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines. S = (-, 2) (3, +) 3) Résoudre 16x^2 - 8sqrt(3)x + 3 > 0 Step 1: Calculer le discriminant de l'équation 16x^2 - 8sqrt(3)x + 3 = 0. Ici, a=16, b=-8sqrt(3), c=3. = b^2 - 4ac = (-8sqrt(3))^2 - 4(16)(3) = (64 × 3) - (64 × 3) = 192 - 192 = 0 Step 2: Trouver la racine unique (racine double) puisque = 0. x = (-b)/(2a) = -(-8sqrt(3))2(16) = 8sqrt(3)32 = sqrt(3)4 Step 3: Déterminer le signe du trinôme. Puisque a=16 > 0 et =0, le trinôme est toujours positif, sauf en x = sqrt(3)4 où il est nul. L'inéquation 16x^2 - 8sqrt(3)x + 3 > 0 est donc vraie pour tous les réels sauf pour x = sqrt(3)4. S = R \ sqrt(3)4 \ 4) Résoudre (x^2 - 7x + 12)/(-3x^2 + x - 1) < 0 Step 1: Analyser le numérateur N(x) = x^2 - 7x + 12. Les racines de $x^2 - 7x