Find the range of values of x which satisfies the following inequalities simultaneously 4x-9 <= x+6 4+x >= 8-3x

Jibu ni $\boxed{4}$.

2. a) Panua na rahisha usemi wa binomial $(2+x)^5$ hadi neno la $x^3$.

Hapa $a=2$, $b=x$, na $n=5$. Tunahitaji maneno hadi $x^3$, kwa hivyo $k=0, 1, 2, 3$.

• Kwa $k=0$: $\binom{5}{0} 2^5 x^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$
• Kwa $k=1$: $\binom{5}{1} 2^4 x^1 = 5 \times 16 \times x = 80x$
• Kwa $k=2$: $\binom{5}{2} 2^3 x^2 = 10 \times 8 \times x^2 = 80x^2$
• Kwa $k=3$: $\binom{5}{3} 2^2 x^3 = 10 \times 4 \times x^3 = 40x^3$

b) Tumia usemi wako kukadiria thamani ya $(1.97)^5$.

Thamani iliyokadiriwa ni $\boxed{29.67092}$.

3. Tafuta riba kwenye Ksh. 200,000 kwa miaka 2 kwa 14% kwa mwaka inayojumuishwa nusu-mwaka.

Mkuu (P) = Ksh. 200,000
Muda (t) = miaka 2
Kiwango cha riba (r) = 14% = 0.14
Idadi ya mara riba inajumuishwa kwa mwaka (n) = 2 (nusu-mwaka)

Riba ni $\boxed{\text{Ksh. } 62,159.20}$.

4. Katika sehemu A, Grace aliona kilele cha mlingoti wa bendera kwa pembe ya $30^\circ$. Baada ya kutembea mita 25 kuelekea chini ya mlingoti wa bendera, alisimama katika sehemu B ambapo aliona tena kwa pembe ya $60^\circ$. Tafuta urefu wa mlingoti wa bendera.

Acha $h$ iwe urefu wa mlingoti wa bendera.
Acha $x$ iwe umbali kutoka sehemu B hadi chini ya mlingoti wa bendera.
Umbali kutoka A hadi chini ya mlingoti ni $(25+x)$ m.

Tunajua $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ na $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

Panua pande zote mbili kwa $\sqrt{3}$:

Urefu wa mlingoti wa bendera ni $\boxed{21.65 \text{ m}}$.

5. Rahisisha $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$.

Kiambishi cha $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ ni $\sqrt{7}+\sqrt{2}$.

Jibu ni $\boxed{\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{5}}$.

6. a) Tafuta safu ya thamani za $x$ zinazokidhi usawa zifuatazo kwa wakati mmoja:

Safu ya thamani za $x$ ni $\boxed{1 \le x \le 5}$.

b) Wakilisha safu ya thamani za $x$ katika (a) hapo juu kwenye mstari wa nambari.

(Kama AI, siwezi kuchora mstari wa nambari, lakini maelezo ni kama ifuatavyo):
Chora mstari wa nambari. Weka alama nambari 1 na 5.
Kwa kuwa usawa ni "chini au sawa na" ($x \le 5$) na "kubwa au sawa na" ($x \ge 1$), tumia duara zilizojazwa (closed circles) kwenye nambari 1 na 5.
Kisha, paka rangi sehemu ya mstari kati ya 1 na 5.

7. Fanya $t$ kuwa mada ya fomula: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.

$t$ kama mada ya fomula ni $\boxed{t = \frac{-u \pm \sqrt{u^2 + 2as}}{a}}$.