Find the rank of the following matrices by reducing them into normal form?

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

यहाँ दिए गए मैट्रिसेस का रैंक सामान्य रूप में कम करके ज्ञात किया गया है। i) मैट्रिक्स A = 2 & 1 & 3 & 6 3 & −3 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 2 Step 1: R₁ R₃ (पंक्ति 1 और पंक्ति 3 को बदलें) A 1 & 1 & 1 & 2 3 & −3 & 1 & 2 2 & 1 & 3 & 6 Step 2: R₂ → R₂ − 3R₁ और R₃ → R₃ − 2R₁ A 1 & 1 & 1 & 2 0 & −6 & −2 & −4 0 & −1 & 1 & 2 Step 3: R₂ R₃ और R₂ → −R₂ A 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & −1 & −2 0 & −6 & −2 & −4 Step 4: R₃ → R₃ + 6R₂ A 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & −1 & −2 0 & 0 & −8 & −16 Step 5: C₂ → C₂ − C₁, C₃ → C₃ − C₁, C₄ → C₄ − 2C₁ A 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & −1 & −2 0 & 0 & −8 & −16 Step 6: C₃ → C₃ + C₂, C₄ → C₄ + 2C₂ A 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & −8 & −16 Step 7: R₃ → −1/8R₃ A 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 Step 8: C₄ → C₄ − 2C₃ A 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 यह सामान्य रूप I₃ & 0 में है। मैट्रिक्स A का रैंक 3 है। ii) मैट्रिक्स B = 0 & 1 & −3 & −1 1 & 0 & 1 & 1 3 & 1 & 0 & 2 1 & 1 & −2 & 0 Step 1: R₁ R₂ B 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & −3 & −1 3 & 1 & 0 & 2 1 & 1 & −2 & 0 Step 2: R₃ → R₃ − 3R₁ और R₄ → R₄ − R₁ B 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & −3 & −1 0 & 1 & −3 & −1 0 & 1 & −3 & −1 Step 3: R₃ → R₃ − R₂ और R₄ → R₄ − R₂ B 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & −3 & −1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 Step 4: C₃ → C₃ − C₁ और C₄ → C₄ − C₁ B 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & −3 & −1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 Step 5: C₃ → C₃ + 3C₂ और C₄ → C₄ + C₂ B 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 यह सामान्य रूप I₂ & 0 0 & 0 में है। मैट्रिक्स B का रैंक 2 है। iii) मैट्रिक्स C = 1 & 2 & −1 & 4 2 & 4 & 3 & 4 Step 1: R₂ → R₂ − 2R₁ C 1 & 2 & −1 & 4 0 & 0 & 5 & −4 Step 2: C₂ → C₂ − 2C₁, C₃ → C₃ + C₁, C₄ → C₄ − 4C₁ C 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 5 & −4 Step 3: C₂ C₃ C 1 & 0 & 0 & 0 0 & 5 & 0 & −4 Step 4: R₂ → 1/5R₂ C 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & −4/5 Step 5: C₄ → C₄ + 4/5C₂ C 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 यह सामान्य रूप I₂ & 0 में है। मैट्रिक्स C का रैंक 2 है।

Find the rank of the following matrices by reducing them into normal form?

Answers

Step-by-step solution

Part i· 8 steps

$R_1 \leftrightarrow R_3$ (पंक्ति 1 और पंक्ति 3 को बदलें)

$R_2 \to R_2 - 3R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$

$R_2 \leftrightarrow R_3$ और $R_2 \to -R_2$

$R_3 \to R_3 + 6R_2$

$C_2 \to C_2 - C_1$ , $C_3 \to C_3 - C_1$ , $C_4 \to C_4 - 2C_1$

$C_3 \to C_3 + C_2$ , $C_4 \to C_4 + 2C_2$

$R_3 \to -\frac{1}{8}R_3$

$C_4 \to C_4 - 2C_3$

Part ii· 5 steps
$\text{2}$

$R_1 \leftrightarrow R_2$

$R_3 \to R_3 - 3R_1$ और $R_4 \to R_4 - R_1$

$R_3 \to R_3 - R_2$ और $R_4 \to R_4 - R_2$

$C_3 \to C_3 - C_1$ और $C_4 \to C_4 - C_1$

$C_3 \to C_3 + 3C_2$ और $C_4 \to C_4 + C_2$

Part iii· 5 steps
$\text{2}$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$

$C_2 \to C_2 - 2C_1$ , $C_3 \to C_3 + C_1$ , $C_4 \to C_4 - 4C_1$

$C_2 \leftrightarrow C_3$

$R_2 \to \frac{1}{5}R_2$

$C_4 \to C_4 + \frac{4}{5}C_2$

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

Find the rank of the following matrices by reducing them into normal form?

Answers

Step-by-step solution

Part i· 8 steps

R1↔R3R_1 \leftrightarrow R_3R1​↔R3​ (पंक्ति 1 और पंक्ति 3 को बदलें)

R2→R2−3R1R_2 \to R_2 - 3R_1R2​→R2​−3R1​ और R3→R3−2R1R_3 \to R_3 - 2R_1R3​→R3​−2R1​

R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3R2​↔R3​ और R2→−R2R_2 \to -R_2R2​→−R2​

R3→R3+6R2R_3 \to R_3 + 6R_2R3​→R3​+6R2​

C2→C2−C1C_2 \to C_2 - C_1C2​→C2​−C1​, C3→C3−C1C_3 \to C_3 - C_1C3​→C3​−C1​, C4→C4−2C1C_4 \to C_4 - 2C_1C4​→C4​−2C1​

C3→C3+C2C_3 \to C_3 + C_2C3​→C3​+C2​, C4→C4+2C2C_4 \to C_4 + 2C_2C4​→C4​+2C2​

R3→−18R3R_3 \to -\frac{1}{8}R_3R3​→−81​R3​

C4→C4−2C3C_4 \to C_4 - 2C_3C4​→C4​−2C3​

Part ii· 5 steps2\text{2}2

R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2R1​↔R2​

R3→R3−3R1R_3 \to R_3 - 3R_1R3​→R3​−3R1​ और R4→R4−R1R_4 \to R_4 - R_1R4​→R4​−R1​

R3→R3−R2R_3 \to R_3 - R_2R3​→R3​−R2​ और R4→R4−R2R_4 \to R_4 - R_2R4​→R4​−R2​

C3→C3−C1C_3 \to C_3 - C_1C3​→C3​−C1​ और C4→C4−C1C_4 \to C_4 - C_1C4​→C4​−C1​

C3→C3+3C2C_3 \to C_3 + 3C_2C3​→C3​+3C2​ और C4→C4+C2C_4 \to C_4 + C_2C4​→C4​+C2​

Part iii· 5 steps2\text{2}2

R2→R2−2R1R_2 \to R_2 - 2R_1R2​→R2​−2R1​

C2→C2−2C1C_2 \to C_2 - 2C_1C2​→C2​−2C1​, C3→C3+C1C_3 \to C_3 + C_1C3​→C3​+C1​, C4→C4−4C1C_4 \to C_4 - 4C_1C4​→C4​−4C1​

C2↔C3C_2 \leftrightarrow C_3C2​↔C3​

R2→15R2R_2 \to \frac{1}{5}R_2R2​→51​R2​

C4→C4+45C2C_4 \to C_4 + \frac{4}{5}C_2C4​→C4​+54​C2​

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

$R_1 \leftrightarrow R_3$ (पंक्ति 1 और पंक्ति 3 को बदलें)

$R_2 \to R_2 - 3R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$

$R_2 \leftrightarrow R_3$ और $R_2 \to -R_2$

$R_3 \to R_3 + 6R_2$

$C_2 \to C_2 - C_1$ , $C_3 \to C_3 - C_1$ , $C_4 \to C_4 - 2C_1$

$C_3 \to C_3 + C_2$ , $C_4 \to C_4 + 2C_2$

$R_3 \to -\frac{1}{8}R_3$

$C_4 \to C_4 - 2C_3$

Part ii· 5 steps
$\text{2}$

$R_1 \leftrightarrow R_2$

$R_3 \to R_3 - 3R_1$ और $R_4 \to R_4 - R_1$

$R_3 \to R_3 - R_2$ और $R_4 \to R_4 - R_2$

$C_3 \to C_3 - C_1$ और $C_4 \to C_4 - C_1$

$C_3 \to C_3 + 3C_2$ और $C_4 \to C_4 + C_2$

Part iii· 5 steps
$\text{2}$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$

$C_2 \to C_2 - 2C_1$ , $C_3 \to C_3 + C_1$ , $C_4 \to C_4 - 4C_1$

$C_2 \leftrightarrow C_3$

$R_2 \to \frac{1}{5}R_2$

$C_4 \to C_4 + \frac{4}{5}C_2$