Soit A, B et C trois points définis par leurs coordonnées : (1, 4); (3, 1);(-3,-1). Calculer les coordonnées du point D symétrique de B par rapport au milieu du segment [AC].

Cela signifie que $M$ est le milieu du segment $[BD]$.

$$x_M = \frac{x_B+x_D}{2} \implies -1 = \frac{3+x_D}{2} \implies -2 = 3+x_D \implies x_D = -5$$ $$y_M = \frac{y_B+y_D}{2} \implies \frac{3}{2} = \frac{1+y_D}{2} \implies 3 = 1+y_D \implies y_D = 2$$

Les coordonnées du point D sont donc:

$$\boxed{D = (-5, 2)}$$

2) Calcul des coordonnées des points E et I

$$\vec{AE} = -\frac{1}{3}(-4, -5) = \left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right)$$

Les coordonnées de $E$ sont $E = A + \vec{AE}$.

$$x_E = x_A + \frac{4}{3} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3+4}{3} = \frac{7}{3}$$ $$y_E = y_A + \frac{5}{3} = 4 + \frac{5}{3} = \frac{12+5}{3} = \frac{17}{3}$$

Les coordonnées du point E sont:

$$\boxed{E = \left(\frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)}$$

$$I = \left(\frac{x_A+x_D}{2}, \frac{y_A+y_D}{2}\right) = \left(\frac{1+(-5)}{2}, \frac{4+2}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{6}{2}\right) = (-2, 3)$$

Les coordonnées du point I sont:

$$\boxed{I = (-2, 3)}$$

3) Démontrer que les points B, E et I sont alignés

Pour démontrer que les points $B$, $E$ et $I$ sont alignés, nous devons montrer que les vecteurs $\vec{BE}$ et $\vec{BI}$ sont colinéaires.

Pour qu'ils soient colinéaires, il doit exister un scalaire $k$ tel que $\vec{BE} = k \cdot \vec{BI}$.
Comparons les composantes:
Pour les composantes $x$:

$$-\frac{2}{3} = k \cdot (-5) \implies k = \frac{-2/3}{-5} = \frac{2}{15}$$

Pour les composantes $y$:

$$\frac{14}{3} = k \cdot 2 \implies k = \frac{14/3}{2} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$

Puisque les valeurs de $k$ sont différentes ($\frac{2}{15} \neq \frac{7}{3}$), les vecteurs $\vec{BE}$ et $\vec{BI}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les points B, E et I ne sont pas alignés selon les données du problème. L'instruction "Démontrer que les points B, E et I sont alignés" est contredite par les calculs.