Soit g la fonction définie sur [0, +∞[ par g(x) = e^x + 2 ln x et soit f la fonction définie sur [0, +∞[ telles que pour tout x ∈ [0, +∞[, f(x) = e^x + 2x ln x - 2x et f(0) = 1. On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J) d'unité graphique 4 cm.

Question

Asked on June 13, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-06-13T01:42:03.577Z

Voici la suite de la résolution de l'exercice 5. 5.b) On pose : K = _1^2 x ( x)^2 dx. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que K = 2 2 - (3)/(4). Nous allons utiliser l'intégration par parties, dont la formule est u'v = [uv] - uv'. Première intégration par parties : Soit u'(x) = x et v(x) = ( x)^2. Alors u(x) = (x^2)/(2) et v'(x) = 2 x · (1)/(x) = (2 x)/(x). K = [ (x^2)/(2) ( x)^2 ]_1^2 - _1^2 (x^2)/(2) · (2 x)/(x) \, dx K = ( (2^2)/(2) ( 2)^2 - (1^2)/(2) ( 1)^2 ) - _1^2 x x \, dx Puisque 1 = 0: K = 2 ( 2)^2 - _1^2 x x \, dx Deuxième intégration par parties pour _1^2 x x \, dx : Soit u'(x) = x et v(x) = x. Alors u(x) = (x^2)/(2) et v'(x) = (1)/(x). _1^2 x x \, dx = [ (x^2)/(2) x ]_1^2 - _1^2 (x^2)/(2) · (1)/(x) \, dx _1^2 x x \, dx = ( (2^2)/(2) 2 - (1^2)/(2) 1 ) - _1^2 (x)/(2) \, dx _1^2 x x \, dx = 2 2 - [ (x^2)/(4) ]_1^2 _1^2 x x \, dx = 2 2 - ( (2^2)/(4) - (1^2)/(4) ) _1^2 x x \, dx = 2 2 - ( 1 - (1)/(4) ) _1^2 x x \, dx = 2 2 - (3)/(4) Substitution du résultat dans l'expression de K : K = 2 ( 2)^2 - ( 2 2 - (3)/(4) ) K = 2 ( 2)^2 - 2 2 + (3)/(4) Le résultat de notre calcul est K = 2 ( 2)^2 - 2 2 + (3)/(4). Ce résultat ne correspond pas à la valeur attendue dans l'énoncé (2 2 - (3)/(4)). Il y a une incohérence dans l'énoncé de la question 5.b). 5.c) Calculer A. L'aire A en cm^2 est la partie du plan délimitée par la courbe (C), l'axe (OI) (qui est y=0) et les droites d'équations x=1 et x=2. D'après la question 5.a), la courbe (C) est au-dessus de l'axe (OI) sur l'intervalle [1;+[, donc f(x) 0 sur [1;2]. L'aire A en unités d'aire est donnée par l'intégrale : A_u.a. = _1^2 f(x) \, dx Nous avons f(x) = e^x + 2x x - 2x. A_u.a. = _1^2 (e^x + 2x x - 2x) \, dx A_u.a. = _1^2 e^x \, dx + 2 _1^2 x x \, dx - _1^2 2x \, dx Calculons chaque intégrale : 1. _1^2 e^x \, dx = [e^x]_1^2 = e^2 - e 2. D'après la question 5.b), nous avons calculé _1^2 x x \, dx = 2 2 - (3)/(4). Donc, 2 _1^2 x x \, dx = 2 ( 2 2 - (3)/(4) ) = 4 2 - (3)/(2) 3. _1^2 2x \, dx = [x^2]_1^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 Maintenant, combinons ces résultats pour trouver A_u.a. : A_u.a. = (e^2 - e) + ( 4 2 - (3)/(2) ) - 3 A_u.a. = e^2 - e + 4 2 - (3)/(2) - (6)/(2) A_u.a. = e^2 - e + 4 2 - (9)/(2) L'unité graphique est de 4 cm. Cela signifie qu'une unité d'aire correspond à 4 cm × 4 cm = 16 cm^2. Pour obtenir l'aire en cm^2, nous multiplions A_u.a. par 16 : A = ( e^2 - e + 4 2 - (9)/(2) ) × 16 A = 16e^2 - 16e + 16 × 4 2 - 16 × (9)/(2) A = 16e^2 - 16e + 64 2 - 72 L'aire est : A = 16e^2 - 16e + 64 2 - 72 cm^2. 3 done, 2 left today. You're making progress.

Accepted Answer · 2026-06-13T01:42:03.577Z

Voici la suite de la résolution de l'exercice 5. 5.b) On pose : K = _1^2 x ( x)^2 dx. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que K = 2 2 - (3)/(4). Nous allons utiliser l'intégration par parties, dont la formule est u'v = [uv] - uv'. Première intégration par parties : Soit u'(x) = x et v(x) = ( x)^2. Alors u(x) = (x^2)/(2) et v'(x) = 2 x · (1)/(x) = (2 x)/(x). K = [ (x^2)/(2) ( x)^2 ]_1^2 - _1^2 (x^2)/(2) · (2 x)/(x) \, dx K = ( (2^2)/(2) ( 2)^2 - (1^2)/(2) ( 1)^2 ) - _1^2 x x \, dx Puisque 1 = 0: K = 2 ( 2)^2 - _1^2 x x \, dx Deuxième intégration par parties pour _1^2 x x \, dx : Soit u'(x) = x et v(x) = x. Alors u(x) = (x^2)/(2) et v'(x) = (1)/(x). _1^2 x x \, dx = [ (x^2)/(2) x ]_1^2 - _1^2 (x^2)/(2) · (1)/(x) \, dx _1^2 x x \, dx = ( (2^2)/(2) 2 - (1^2)/(2) 1 ) - _1^2 (x)/(2) \, dx _1^2 x x \, dx = 2 2 - [ (x^2)/(4) ]_1^2 _1^2 x x \, dx = 2 2 - ( (2^2)/(4) - (1^2)/(4) ) _1^2 x x \, dx = 2 2 - ( 1 - (1)/(4) ) _1^2 x x \, dx = 2 2 - (3)/(4) Substitution du résultat dans l'expression de K : K = 2 ( 2)^2 - ( 2 2 - (3)/(4) ) K = 2 ( 2)^2 - 2 2 + (3)/(4) Le résultat de notre calcul est K = 2 ( 2)^2 - 2 2 + (3)/(4). Ce résultat ne correspond pas à la valeur attendue dans l'énoncé (2 2 - (3)/(4)). Il y a une incohérence dans l'énoncé de la question 5.b). 5.c) Calculer A. L'aire A en cm^2 est la partie du plan délimitée par la courbe (C), l'axe (OI) (qui est y=0) et les droites d'équations x=1 et x=2. D'après la question 5.a), la courbe (C) est au-dessus de l'axe (OI) sur l'intervalle [1;+[, donc f(x) 0 sur [1;2]. L'aire A en unités d'aire est donnée par l'intégrale : A_u.a. = _1^2 f(x) \, dx Nous avons f(x) = e^x + 2x x - 2x. A_u.a. = _1^2 (e^x + 2x x - 2x) \, dx A_u.a. = _1^2 e^x \, dx + 2 _1^2 x x \, dx - _1^2 2x \, dx Calculons chaque intégrale : 1. _1^2 e^x \, dx = [e^x]_1^2 = e^2 - e 2. D'après la question 5.b), nous avons calculé _1^2 x x \, dx = 2 2 - (3)/(4). Donc, 2 _1^2 x x \, dx = 2 ( 2 2 - (3)/(4) ) = 4 2 - (3)/(2) 3. _1^2 2x \, dx = [x^2]_1^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 Maintenant, combinons ces résultats pour trouver A_u.a. : A_u.a. = (e^2 - e) + ( 4 2 - (3)/(2) ) - 3 A_u.a. = e^2 - e + 4 2 - (3)/(2) - (6)/(2) A_u.a. = e^2 - e + 4 2 - (9)/(2) L'unité graphique est de 4 cm. Cela signifie qu'une unité d'aire correspond à 4 cm × 4 cm = 16 cm^2. Pour obtenir l'aire en cm^2, nous multiplions A_u.a. par 16 : A = ( e^2 - e + 4 2 - (9)/(2) ) × 16 A = 16e^2 - 16e + 16 × 4 2 - 16 × (9)/(2) A = 16e^2 - 16e + 64 2 - 72 L'aire est : A = 16e^2 - 16e + 64 2 - 72 cm^2. 3 done, 2 left today. You're making progress.

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