This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la résolution de l'exercice. 1. Calculer U_1 La suite (U_n) est définie par U_0 = 2 et U_n+1 = (3+U_n)/(5-U_n). Pour calculer U_1, nous utilisons la formule avec n=0: U_1 = (3+U_0)/(5-U_0) Substituons U_0 = 2: U_1 = (3+2)/(5-2) = (5)/(3) Le premier terme est: U_1 = (5)/(3) 2. a) Vérifier que U_n+1 - 3 = (4(U_n - 3))/(2 + (3 - U_n)) Nous partons de l'expression de U_n+1 - 3: U_n+1 - 3 = (3+U_n)/(5-U_n) - 3 Mettons sur un dénominateur commun: U_n+1 - 3 = (3+U_n - 3(5-U_n))/(5-U_n) Développons le numérateur: U_n+1 - 3 = (3+U_n - 15 + 3U_n)/(5-U_n) Simplifions le numérateur: U_n+1 - 3 = (4U_n - 12)/(5-U_n) Factorisons 4 au numérateur: U_n+1 - 3 = (4(U_n - 3))/(5-U_n) Vérifions le dénominateur de l'expression cible: 2 + (3 - U_n) = 2 + 3 - U_n = 5 - U_n. Le dénominateur correspond. Donc, l'égalité est vérifiée: U_n+1 - 3 = (4(U_n - 3))/(2 + (3 - U_n)) 2. b) En déduire que U_n < 3 pour tout n N Nous allons prouver cela par récurrence. Initialisation: Pour n=0, U_0 = 2. On a 2 < 3, donc la propriété est vraie pour n=0. Hérédité: Supposons que pour un certain k N, la propriété U_k < 3 est vraie. Nous voulons montrer que U_k+1 < 3. D'après la question 2.a), nous avons U_k+1 - 3 = (4(U_k - 3))/(2 + (3 - U_k)). Puisque U_k < 3, alors U_k - 3 < 0. Le numérateur 4(U_k - 3) est donc négatif. Pour le dénominateur, 2 + (3 - U_k): Puisque U_k < 3, alors 3 - U_k > 0. Donc 2 + (3 - U_k) > 2 + 0 = 2. Le dénominateur est positif. Un nombre négatif divisé par un nombre positif est négatif. Donc, U_k+1 - 3 < 0, ce qui implique U_k+1 < 3. Conclusion: La propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire. Par le principe de récurrence, U_n < 3 pour tout n N. 3. a) Montrer que (V_n) est une suite géométrique de raison q = (1)/(2) et de premier terme V_0 à déterminer. La suite (V_n) est définie par V_n = (U_n - 1)/(3 - U_n). Calculons V_n+1: V_n+1 = U_n+1 - 13 - U_n+1 Substituons U_n+1 = (3+U_n)/(5-U_n): U_n+1 - 1 = (3+U_n)/(5-U_n) - 1 = (3+U_n - (5-U_n))/(5-U_n) = (3+U_n - 5 + U_n)/(5-U_n) = (2U_n - 2)/(5-U_n) = (2(U_n - 1))/(5-U_n) 3 - U_n+1 = 3 - (3+U_n)/(5-U_n) = (3(5-U_n) - (3+U_n))/(5-U_n) = (15-3U_n - 3 - U_n)/(5-U_n) = (12 - 4U_n)/(5-U_n) = (4(3 - U_n))/(5-U_n) Maintenant, substituons ces expressions dans V_n+1: V_n+1 = (2(U_n - 1))/(5-U_n)(4(3 - U_n))/(5-U_n) = (2(U_n - 1))/(4(3 - U_n)) = (1)/(2) · (U_n - 1)/(3 - U_n) Puisque V_n = (U_n - 1)/(3 - U_n), nous avons: V_n+1 = (1)/(2) V_n La suite (V_n) est donc une suite géométrique de raison q = (1)/(2). Calculons le premier terme V_0: V_0 = (U_0 - 1)/(3 - U_0) Substituons U_0 = 2: V_0 = (2 - 1)/(3 - 2) = (1)/(1) = 1 Le premier terme est: V_0 = 1 3. b) Montrer que V_n = ((1)/(2))^n pour tout n N Puisque (V_n) est une suite géométrique de premier terme V_0 = 1 et de raison q = (1)/(2), son terme général est donné par la formule V_n = V_0 · q^n. V_n = 1 · ((1)/(2))^n Donc: V_n = ((1)/(2))^n 3. c) Montrer que U_n = (1 + 3V_n)/(1 + V_n) pour tout n N, puis exprimer U_n en fonction de n Nous partons de la définition de V_n: V_n = (U_n - 1)/(3 - U_n) Multiplions les deux côtés par (3 - U_n): V_n (3 - U_n) = U_n - 1 Développons le côté gauche: 3V_n - V_n U_n = U_n - 1 Regroupons les termes avec U_n d'un côté et les autres termes de l'autre: 3V_n + 1 = U_n + V_n U_n Factorisons U_n sur le côté droit: 3V_n + 1 = U_n (1 + V_n) Divisons par (1 + V_n) pour isoler U_n: U_n = (1 + 3V_n)/(1 + V_n) Maintenant, exprimons U_n en fonction de n en substituant V_n = ((1)/(2))^n: U_n = 1 + 3