Soit la suite (Un) définie par U0 = 2 et Un+1 = rac3+Un5−Un. Calculer U1 et prouver que U_n < 3 pour tout $n ",

Voici la résolution de l'exercice.

1. Calculer $U_1$
La suite $(U_n)$ est définie par $U_0 = 2$ et $U_{n+1} = \frac{3+U_n}{5-U_n}$.
Pour calculer $U_1$, nous utilisons la formule avec $n=0$:

$$U_1 = \frac{3+U_0}{5-U_0}$$

Substituons $U_0 = 2$:

$$U_1 = \frac{3+2}{5-2} = \frac{5}{3}$$

Le premier terme est:

$$\boxed{U_1 = \frac{5}{3}}$$

2. a) Vérifier que $U_{n+1} - 3 = \frac{4(U_n - 3)}{2 + (3 - U_n)}$
Nous partons de l'expression de $U_{n+1} - 3$:

$$U_{n+1} - 3 = \frac{3+U_n}{5-U_n} - 3$$

Mettons sur un dénominateur commun:

$$U_{n+1} - 3 = \frac{3+U_n - 3(5-U_n)}{5-U_n}$$

Développons le numérateur:

$$U_{n+1} - 3 = \frac{3+U_n - 15 + 3U_n}{5-U_n}$$

Simplifions le numérateur:

$$U_{n+1} - 3 = \frac{4U_n - 12}{5-U_n}$$

Factorisons 4 au numérateur:

$$U_{n+1} - 3 = \frac{4(U_n - 3)}{5-U_n}$$

Vérifions le dénominateur de l'expression cible: $2 + (3 - U_n) = 2 + 3 - U_n = 5 - U_n$.
Le dénominateur correspond.
Donc, l'égalité est vérifiée:

$$\boxed{U_{n+1} - 3 = \frac{4(U_n - 3)}{2 + (3 - U_n)}}$$

2. b) En déduire que $U_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
Nous allons prouver cela par récurrence.
Initialisation: Pour $n=0$, $U_0 = 2$. On a $2 < 3$, donc la propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité: Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, la propriété $U_k < 3$ est vraie.
Nous voulons montrer que $U_{k+1} < 3$.
D'après la question 2.a), nous avons $U_{k+1} - 3 = \frac{4(U_k - 3)}{2 + (3 - U_k)}$.
Puisque $U_k < 3$, alors $U_k - 3 < 0$. Le numérateur $4(U_k - 3)$ est donc négatif.
Pour le dénominateur, $2 + (3 - U_k)$:
Puisque $U_k < 3$, alors $3 - U_k > 0$.
Donc $2 + (3 - U_k) > 2 + 0 = 2$. Le dénominateur est positif.
Un nombre négatif divisé par un nombre positif est négatif.
Donc, $U_{k+1} - 3 < 0$, ce qui implique $U_{k+1} < 3$.
Conclusion: La propriété est vraie pour $n=0$ et est héréditaire. Par le principe de récurrence, $U_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $V_0$ à déterminer.
La suite $(V_n)$ est définie par $V_n = \frac{U_n - 1}{3 - U_n}$.
Calculons $V_{n+1}$:

$$V_{n+1} = \frac{U_{n+1} - 1}{3 - U_{n+1}}$$

Substituons $U_{n+1} = \frac{3+U_n}{5-U_n}$:

$$U_{n+1} - 1 = \frac{3+U_n}{5-U_n} - 1 = \frac{3+U_n - (5-U_n)}{5-U_n} = \frac{3+U_n - 5 + U_n}{5-U_n} = \frac{2U_n - 2}{5-U_n} = \frac{2(U_n - 1)}{5-U_n}$$ $$3 - U_{n+1} = 3 - \frac{3+U_n}{5-U_n} = \frac{3(5-U_n) - (3+U_n)}{5-U_n} = \frac{15-3U_n - 3 - U_n}{5-U_n} = \frac{12 - 4U_n}{5-U_n} = \frac{4(3 - U_n)}{5-U_n}$$

Maintenant, substituons ces expressions dans $V_{n+1}$:

$$V_{n+1} = \frac{\frac{2(U_n - 1)}{5-U_n}}{\frac{4(3 - U_n)}{5-U_n}} = \frac{2(U_n - 1)}{4(3 - U_n)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_n - 1}{3 - U_n}$$

Puisque $V_n = \frac{U_n - 1}{3 - U_n}$, nous avons:

$$V_{n+1} = \frac{1}{2} V_n$$

La suite $(V_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$.

Calculons le premier terme $V_0$:

$$V_0 = \frac{U_0 - 1}{3 - U_0}$$

Substituons $U_0 = 2$:

$$V_0 = \frac{2 - 1}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$$

Le premier terme est:

$$\boxed{V_0 = 1}$$

3. b) Montrer que $V_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
Puisque $(V_n)$ est une suite géométrique de premier terme $V_0 = 1$ et de raison $q = \frac{1}{2}$, son terme général est donné par la formule $V_n = V_0 \cdot q^n$.

$$V_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

Donc:

$$\boxed{V_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n}$$

3. c) Montrer que $U_n = \frac{1 + 3V_n}{1 + V_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$
Nous partons de la définition de $V_n$:

$$V_n = \frac{U_n - 1}{3 - U_n}$$

Multiplions les deux côtés par $(3 - U_n)$:

$$V_n (3 - U_n) = U_n - 1$$

Développons le côté gauche:

$$3V_n - V_n U_n = U_n - 1$$

Regroupons les termes avec $U_n$ d'un côté et les autres termes de l'autre:

$$3V_n + 1 = U_n + V_n U_n$$

Factorisons $U_n$ sur le côté droit:

$$3V_n + 1 = U_n (1 + V_n)$$

Divisons par $(1 + V_n)$ pour isoler $U_n$:

$$\boxed{U_n = \frac{1 + 3V_n}{1 + V_n}}$$

Maintenant, exprimons $U_n$ en fonction de $n$ en substituant $V_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$:

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