Test the convergence hai to -1 hai to convergence or divergence

दिए गए समाकल है $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}}\,dx$।
समाकल्य (integrand) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}}$ है।
अंतराल $(0,1)$ में, $x > 0$ और $x-1 < 0$ होता है। इसलिए, $x(x-1) < 0$ होता है।
इसका मतलब है कि $\sqrt{x(x-1)}$ एक काल्पनिक संख्या है।
अतः, $f(x)$ अंतराल $(0,1)$ पर एक वास्तविक-मान फलन (real-valued function) नहीं है।
इसलिए, यह समाकल वास्तविक संख्याओं पर अपरिभाषित है।

आपके द्वारा की गई गणना $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\phi(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ सही है, लेकिन $x \to 0$ पर $\sqrt{x-1}$ का मान $\sqrt{-1}$ होता है, जो एक काल्पनिक संख्या है।

यह अत्यधिक संभावना है कि प्रश्न में एक त्रुटि है और वास्तविक समाकल $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ होना चाहिए था। हम इस धारणा के साथ आगे बढ़ेंगे और इस समाकल के अभिसरण (convergence) का परीक्षण करेंगे।

माना $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$।
यह फलन $x=0$ और $x=1$ पर अपरिभाषित है। ये समाकल के अपरिभाषित बिंदु हैं।
हम समाकल को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx = \int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx + \int_{1/2}^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$$

हम प्रत्येक भाग के अभिसरण का अलग-अलग परीक्षण करेंगे।

पहले भाग $\int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ के लिए, अपरिभाषित बिंदु $x=0$ है।
हम सीमा तुलना परीक्षण (Limit Comparison Test) का उपयोग करेंगे।
माना $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$ और $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$।
सीमा की गणना करें:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1-x}}$$

$x=0$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$$

चूंकि सीमा 1 है, जो एक परिमित, धनात्मक संख्या है, इसलिए $\int_0^{1/2} f(x)\,dx$ और $\int_0^{1/2} g(x)\,dx$ दोनों या तो अभिसारी (convergent) हैं या अपसारी (divergent) हैं।
समाकल $\int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \int_0^{1/2} x^{-1/2}\,dx$ एक p-समाकल है जिसमें $p = 1/2$ है।
चूंकि $p = 1/2 < 1$ है, इसलिए समाकल $\int_0^{1/2} x^{-1/2}\,dx$ अभिसारी है।
अतः, $\int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ अभिसारी है।

दूसरे भाग $\int_{1/2}^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ के लिए, अपरिभाषित बिंदु $x=1$ है।
हम सीमा तुलना परीक्षण का उपयोग करेंगे।
माना $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$ और $h(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} = (1-x)^{-1/2}$।
सीमा की गणना करें:

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}}{\frac{1}{\sqrt{1-x}}} = \lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x(1-x)}} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{x}}$$

$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$$

चूंकि सीमा 1 है, जो एक परिमित, धनात्मक संख्या है, इसलिए $\int_{1/2}^1 f(x)\,dx$ और $\int_{1/2}^1 h(x)\,dx$ दोनों या तो अभिसारी हैं या अपसारी हैं।
समाकल $\int_{1/2}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx$ के लिए, $u = 1-x$ प्रतिस्थापित करें, तो $du = -dx$।
जब $x=1/2$, $u=1/2$। जब $x=1$, $u=0$।
तो, $\int_{1/2}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx = \int_{1/2}^0 \frac{1}{\sqrt{u}}(-du) = \int_0^{1/2} u^{-1/2}\,du$।
यह एक p-समाकल है जिसमें $p = 1/2$ है।
चूंकि $p = 1/2 < 1$ है, इसलिए समाकल $\int_0^{1/2} u^{-1/2}\,du$ अभिसारी है।
अतः, $\int_{1/2}^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ अभिसारी है।

चूंकि समाकल के दोनों भाग अभिसारी हैं, इसलिए पूरा समाकल $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ अभिसारी है।

अतः, यदि प्रश्न में त्रुटि मान ली जाए, तो समाकल:

$$\text{अभिसारी (Convergent)}$$