This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिए गए समाकल का विश्लेषण (Analysis of the given integral) दिए गए समाकल है _0^1 (1)/(sqrt(x(x-1)))\,dx। समाकल्य (integrand) f(x) = (1)/(sqrt(x(x-1))) है। अंतराल (0,1) में, x > 0 और x-1 < 0 होता है। इसलिए, x(x-1) < 0 होता है। इसका मतलब है कि sqrt(x(x-1)) एक काल्पनिक संख्या है। अतः, f(x) अंतराल (0,1) पर एक वास्तविक-मान फलन (real-valued function) नहीं है। इसलिए, यह समाकल वास्तविक संख्याओं पर अपरिभाषित है। आपके द्वारा की गई गणना _x 0 (f(x))/((x)) = _x 0 (1)/(sqrt(x-1)) सही है, लेकिन x 0 पर sqrt(x-1) का मान sqrt(-1) होता है, जो एक काल्पनिक संख्या है। यह अत्यधिक संभावना है कि प्रश्न में एक त्रुटि है और वास्तविक समाकल _0^1 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx होना चाहिए था। हम इस धारणा के साथ आगे बढ़ेंगे और इस समाकल के अभिसरण (convergence) का परीक्षण करेंगे। Step 2: अपरिभाषित बिंदुओं की पहचान (Identification of improper points) माना f(x) = (1)/(sqrt(x(1-x)))। यह फलन x=0 और x=1 पर अपरिभाषित है। ये समाकल के अपरिभाषित बिंदु हैं। हम समाकल को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: _0^1 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx = _0^1/2 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx + _1/2^1 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx हम प्रत्येक भाग के अभिसरण का अलग-अलग परीक्षण करेंगे। Step 3: x=0 पर अभिसरण का परीक्षण (Testing convergence at x=0) पहले भाग _0^1/2 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx के लिए, अपरिभाषित बिंदु x=0 है। हम सीमा तुलना परीक्षण (Limit Comparison Test) का उपयोग करेंगे। माना f(x) = (1)/(sqrt(x(1-x))) और g(x) = (1)/(sqrt(x)) = x^-1/2। सीमा की गणना करें: _x 0^+ (f(x))/(g(x)) = _x 0^+ (1)/(sqrt(x(1-x)))(1)/(sqrt(x)) = _x 0^+ sqrt(x)sqrt(x(1-x)) = _x 0^+ (1)/(sqrt(1-x)) x=0 प्रतिस्थापित करने पर: _x 0^+ (1)/(sqrt(1-x)) = (1)/(sqrt(1-0)) = 1 चूंकि सीमा 1 है, जो एक परिमित, धनात्मक संख्या है, इसलिए _0^1/2 f(x)\,dx और _0^1/2 g(x)\,dx दोनों या तो अभिसारी (convergent) हैं या अपसारी (divergent) हैं। समाकल _0^1/2 (1)/(sqrt(x))\,dx = _0^1/2 x^-1/2\,dx एक p-समाकल है जिसमें p = 1/2 है। चूंकि p = 1/2 < 1 है, इसलिए समाकल _0^1/2 x^-1/2\,dx अभिसारी है। अतः, _0^1/2 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx अभिसारी है। Step 4: x=1 पर अभिसरण का परीक्षण (Testing convergence at x=1) दूसरे भाग _1/2^1 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx के लिए, अपरिभाषित बिंदु x=1 है। हम सीमा तुलना परीक्षण का उपयोग करेंगे। माना f(x) = (1)/(sqrt(x(1-x))) और h(x) = (1)/(sqrt(1-x)) = (1-x)^-1/2। सीमा की गणना करें: _x 1^- (f(x))/(h(x)) = _x 1^- (1)/(sqrt(x(1-x)))(1)/(sqrt(1-x)) = _x 1^- sqrt(1-x)sqrt(x(1-x)) = _x 1^- (1)/(sqrt(x)) x=1 प्रतिस्थापित करने पर: _x 1^- (1)/(sqrt(x)) = (1)/(sqrt(1)) = 1 चूंकि सीमा 1 है, जो एक परिमित, धनात्मक संख्या है, इसलिए _1/2^1 f(x)\,dx और _1/2^1 h(x)\,dx दोनों या तो अभिसारी हैं या अपसारी हैं। समाकल _1/2^1 (1)/(sqrt(1-x))\,dx के लिए, u = 1-x प्रतिस्थापित करें, तो du = -dx। जब x=1/2, u=1/2। जब x=1, u=0। तो, _1/2^1 (1)/(sqrt(1-x))\,dx = _1/2^0 (1)/(sqrt(u))(-du) = _0^1/2 u^-1/2\,du। यह एक p-समाकल है जिसमें p = 1/2 है। चूंकि p = 1/2 < 1 है, इसलिए समाकल _0^1/2 u^-1/2\,du अभिसारी है। अतः, _1/2^1 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx अभिसारी है। Step 5: निष्कर्ष (Conclusion) चूंकि समाकल के दोनों भाग अभिसारी हैं, इसलिए पूरा समाकल _0^1 (1)/(sqrt(x(1-x)))\,dx अभिसारी है। अतः, यदि प्रश्न में त्रुटि मान ली जाए, तो समाकल: अभिसारी (Convergent) अगला प्रश्न भेजो 📸