Show that the following mappings are group homomorphisms and find the Kernel in each case: (i) φ: (C₀, .) → (C₀, .), φ(z) = zⁿ, n ∈ N (ii) φ: (C, +) → (R, +), φ(x+iy) = x (iii) φ: (Z, +) → (Z, +), φ(x) = -mx for any fixed integer m ∈ Z (iv) φ: (R₀, .) → (R₀, .), φ(x) = x⁴

मान लीजिए $z_1, z_2 \in C_0$।

$$\phi(z_1 \cdot z_2) = (z_1 \cdot z_2)^n = z_1^n \cdot z_2^n$$ $$\phi(z_1) \cdot \phi(z_2) = z_1^n \cdot z_2^n$$

चूंकि $\phi(z_1 \cdot z_2) = \phi(z_1) \cdot \phi(z_2)$, $\phi$ एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है।

कोडोमेन $(C_0, \cdot)$ का आइडेंटिटी एलिमेंट 1 है।

$$\text{Ker}(\phi) = \{z \in C_0 \mid \phi(z) = 1\}$$ $$\text{Ker}(\phi) = \{z \in C_0 \mid z^n = 1\}$$

$z^n = 1$ के हल $n$-वें इकाई के मूल हैं।

$$\text{Ker}(\phi) = \{e^{i \frac{2\pi k}{n}} \mid k = 0, 1, \dots, n-1\}$$

$\boxed{\text{कर्नेल} = \{e^{i \frac{2\pi k}{n}} \mid k = 0, 1, \dots, n-1\}}$

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मान लीजिए $z_1 = x_1+iy_1 \in C$ और $z_2 = x_2+iy_2 \in C$।

$$\phi(z_1 + z_2) = \phi((x_1+iy_1) + (x_2+iy_2)) = \phi((x_1+x_2) + i(y_1+y_2)) = x_1+x_2$$ $$\phi(z_1) + \phi(z_2) = \phi(x_1+iy_1) + \phi(x_2+iy_2) = x_1 + x_2$$

चूंकि $\phi(z_1 + z_2) = \phi(z_1) + \phi(z_2)$, $\phi$ एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है।

कोडोमेन $(R, +)$ का आइडेंटिटी एलिमेंट 0 है।

$$\text{Ker}(\phi) = \{x+iy \in C \mid \phi(x+iy) = 0\}$$ $$\text{Ker}(\phi) = \{x+iy \in C \mid x = 0\}$$ $$\text{Ker}(\phi) = \{iy \mid y \in \mathbb{R}\}$$

$\boxed{\text{कर्नेल} = \{iy \mid y \in \mathbb{R}\}}$

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मान लीजिए $a, b \in \mathbb{Z}$।

$$\phi(a+b) = -m(a+b) = -ma - mb$$ $$\phi(a) + \phi(b) = (-ma) + (-mb) = -ma - mb$$

चूंकि $\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$, $\phi$ एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है।

कोडोमेन $(\mathbb{Z}, +)$ का आइडेंटिटी एलिमेंट 0 है।

$$\text{Ker}(\phi) = \{x \in \mathbb{Z} \mid \phi(x) = 0\}$$ $$\text{Ker}(\phi) = \{x \in \mathbb{Z} \mid -mx = 0\}$$

यदि $m \neq 0$, तो $-mx = 0$ का अर्थ है $x=0$।
यदि $m = 0$, तो $\phi(x) = 0$ सभी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए, जिसका अर्थ है कि कर्नेल $\mathbb{Z}$ है।

$$\text{Ker}(\phi) = \begin{cases} \{0\} & \text{यदि } m \neq 0 \\ \mathbb{Z} & \text{यदि } m = 0 \end{cases}$$

$\boxed{\text{कर्नेल} = \begin{cases} \{0\} & \text{यदि } m \neq 0 \\ \mathbb{Z} & \text{यदि } m = 0 \end{cases}}$

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मान लीजिए $a, b \in R_0$।

$$\phi(a \cdot b) = (a \cdot b)^4 = a^4 \cdot b^4$$ $$\phi(a) \cdot \phi(b) = a^4 \cdot b^4$$

चूंकि $\phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b)$, $\phi$ एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है।

कोडोमेन $(R_0, \cdot)$ का आइडेंटिटी एलिमेंट 1 है।

$$\text{Ker}(\phi) = \{x \in R_0 \mid \phi(x) = 1\}$$ $$\text{Ker}(\phi) = \{x \in R_0 \mid x^4 = 1\}$$

$x^4 = 1$ के वास्तविक हल $x=1$ और $x=-1$ हैं।

$$\text{Ker}(\phi) = \{1, -1\}$$

$\boxed{\text{कर्नेल} = \{1, -1\}}$