Show that the following mappings are group homomorphisms and find the Kernel in each case: (i) φ: (C₀, .) → (C₀, .), φ(z) = zⁿ, n ∈ N (ii) φ: (C, +) → (R, +), φ(x+iy) = x (iii) φ: (Z, +) → (Z, +), φ(x) = -mx for any fixed integer m ∈ Z (iv) φ: (R₀, .) → (R₀, .), φ(x) = x⁴

यहाँ दिए गए मैपिंग को ग्रुप होमोमोर्फिज्म दिखाना है और प्रत्येक मामले में कर्नेल ज्ञात करना है। ग्रुप होमोमोर्फिज्म की परिभाषा: एक मैपिंग : (G, ·) (H, ) एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म होती है यदि सभी a, b G के लिए (a · b) = (a) (b) हो। कर्नेल की परिभाषा: एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म : G H का कर्नेल G के उन सभी तत्वों का सेट है जो H के आइडेंटिटी एलिमेंट पर मैप होते हैं। Ker() = \g G (g) = e_H\, जहाँ e_H H में आइडेंटिटी एलिमेंट है। --- i) : (C_0, ·) (C_0, ·), (z) = z^n, n N Step 1: होमोमोर्फिज्म दिखाएँ। मान लीजिए z_1, z_2 C_0। (z_1 · z_2) = (z_1 · z_2)^n = z_1^n · z_2^n (z_1) · (z_2) = z_1^n · z_2^n चूंकि (z_1 · z_2) = (z_1) · (z_2), एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है। Step 2: कर्नेल ज्ञात करें। कोडोमेन (C_0, ·) का आइडेंटिटी एलिमेंट 1 है। Ker() = \z C_0 (z) = 1\ Ker() = \z C_0 z^n = 1\ z^n = 1 के हल n-वें इकाई के मूल हैं। Ker() = \e^i (2 k)/(n) k = 0, 1, , n-1\ कर्नेल = \e^i (2 k)/(n) k = 0, 1, , n-1\ --- ii) : (C, +) (R, +), (x+iy) = x Step 1: होमोमोर्फिज्म दिखाएँ। मान लीजिए z_1 = x_1+iy_1 C और z_2 = x_2+iy_2 C। (z_1 + z_2) = ((x_1+iy_1) + (x_2+iy_2)) = ((x_1+x_2) + i(y_1+y_2)) = x_1+x_2 (z_1) + (z_2) = (x_1+iy_1) + (x_2+iy_2) = x_1 + x_2 चूंकि (z_1 + z_2) = (z_1) + (z_2), एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है। Step 2: कर्नेल ज्ञात करें। कोडोमेन (R, +) का आइडेंटिटी एलिमेंट 0 है। Ker() = \x+iy C (x+iy) = 0\ Ker() = \x+iy C x = 0\ Ker() = \iy y R\ कर्नेल = \iy y R\ --- iii) : (Z, +) (Z, +), (x) = -mx किसी निश्चित पूर्णांक m Z के लिए Step 1: होमोमोर्फिज्म दिखाएँ। मान लीजिए a, b Z। (a+b) = -m(a+b) = -ma - mb (a) + (b) = (-ma) + (-mb) = -ma - mb चूंकि (a+b) = (a) + (b), एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है। Step 2: कर्नेल ज्ञात करें। कोडोमेन (Z, +) का आइडेंटिटी एलिमेंट 0 है। Ker() = \x Z (x) = 0\ Ker() = \x Z -mx = 0\ यदि m ≠ 0, तो -mx = 0 का अर्थ है x=0। यदि m = 0, तो (x) = 0 सभी x Z के लिए, जिसका अर्थ है कि कर्नेल Z है। Ker() = \0\ & यदि m ≠ 0 \\ Z & यदि m = 0 कर्नेल = \0\ & यदि m ≠ 0 \\ Z & यदि m = 0 --- iv) : (R_0, ·) (R_0, ·), (x) = x^4 Step 1: होमोमोर्फिज्म दिखाएँ। मान लीजिए a, b R_0। (a · b) = (a · b)^4 = a^4 · b^4 (a) · (b) = a^4 · b^4 चूंकि (a · b) = (a) · (b), एक ग्रुप होमोमोर्फिज्म है। Step 2: कर्नेल ज्ञात करें। कोडोमेन (R_0, ·) का आइडेंटिटी एलिमेंट 1 है। Ker() = \x R_0 (x) = 1\ Ker() = \x R_0 x^4 = 1\ x^4 = 1 के वास्तविक हल x=1 और x=-1 हैं। Ker() = \1, -1\ कर्नेल = \1, -1\ अगला प्रश्न भेजें 📸