The diagram shows the graph of y = A sin(Bx + C) + D. Use the diagram to determine the values of A, B, C and D.

Voici la résolution des exercices.

EXERCICE AVEC GRAPHE

a) Déterminer la période T. Step 1: Observer le graphique pour identifier un cycle complet. Le graphique montre une fonction périodique. Un cycle complet commence à $t=0$, monte, descend et revient à sa position initiale en $t=4$. La période est la durée d'un cycle complet. $T = \boxed{4}$

b) Déterminer l'amplitude A. Step 1: Identifier les valeurs maximale et minimale de la fonction. La valeur maximale de la fonction est $1$ et la valeur minimale est $-1$. L'amplitude est la moitié de la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale, ou la valeur absolue du maximum (si la fonction est centrée sur 0). $A = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $A = \boxed{1}$

c) Déterminer la phase à l'origine $\phi$. Step 1: Déterminer la pulsation $\omega$. La pulsation est donnée par $\omega = \frac{2\pi}{T}$. $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ Step 2: Utiliser la condition initiale $y(0)$. La fonction est de la forme $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$. On sait que $y(0) = 0$. $1 \sin\left(\frac{\pi}{2}(0) + \phi\right) = 0$ $\sin(\phi) = 0$ Cela implique $\phi = k\pi$ pour un entier $k$. Step 3: Utiliser la pente à l'origine. À $t=0$, la fonction est croissante. La dérivée $y'(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi)$. $y'(0) = 1 \times \frac{\pi}{2} \cos(\phi) = \frac{\pi}{2} \cos(\phi)$ Puisque la fonction est croissante à $t=0$, $y'(0) > 0$, donc $\cos(\phi) > 0$. La seule valeur de $\phi$ qui satisfait $\sin(\phi)=0$ et $\cos(\phi)>0$ est $\phi=0$ (ou $2k\pi$). $\phi = \boxed{0}$

d) Écrire l'équation de la fonction sous la forme $y = A \sin(\omega t + \phi)$. Step 1: Substituer les valeurs trouvées. $y(t) = 1 \sin\left(\frac{\pi}{2} t + 0\right)$ y(t) = \sin\left(\frac{\pi{2} t\right)}

EXERCICE SUR LA FONCTION $f(x) = (ax+b)e^{-x}$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = (ax+b)e^{-x}$.

1. Calculer $f'(x)$. Step 1: Appliquer la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$. Soit $u(x) = ax+b$ et $v(x) = e^{-x}$. Alors $u'(x) = a$ et $v'(x) = -e^{-x}$. $f'(x) = a e^{-x} + (ax+b)(-e^{-x})$ $f'(x) = e^{-x}(a - (ax+b))$ $f'(x) = e^{-x}(a - ax - b)$ $f'(x) = (-ax + a - b)e^{-x}$

2. Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe de $f$ passe par le point $A(0,1)$ et admette une tangente horizontale en $A$. Step 1: Utiliser la condition que la courbe passe par $A(0,1)$. Cela signifie $f(0) = 1$. $f(0) = (a(0)+b)e^{-0} = b \times 1 = b$ Donc $b = 1$. Step 2: Utiliser la condition que la tangente est horizontale en $A(0,1)$. Cela signifie que la dérivée en $x=0$ est nulle, c'est-à-dire $f'(0) = 0$. En utilisant l'expression de $f'(x)$ et $b=1$: $f'(0) = (-a(0) + a - b)e^{-0} = (a - b) \times 1 = a - b$ Donc $a - b = 0$. Puisque $b=1$, on a $a - 1 = 0$, ce qui donne $a = 1$. Les valeurs de $a$ et $b$ sont : $a = \boxed{1}$ $b = \boxed{1}$

3. Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y'' + 2y' + y = 0$. Step 1: Déterminer $f(x)$, $f'(x)$ et $f''(x)$ avec $a=1$ et $b=1$. $f(x) = (x+1)e^{-x}$ $f'(x) = (-1x + 1 - 1)e^{-x} = -xe^{-x}$ Step 2: Calculer $f''(x)$. Appliquer la règle de dérivation d'un produit à $f'(x) = -xe^{-x}$. Soit $u(x) = -x$ et $v(x) = e^{-x}$. Alors $u'(x) = -1$ et $v'(x) = -e^{-x}$. $f''(x) = (-1)e^{-x} + (-x)(-e^{-x})$ $f''(x) = -e^{-x} + xe^{-x}$ $f''(x) = (x-1)e^{-x}$ Step 3: Substituer $f(x)$, $f'(x)$ et $f''(x)$ dans l'équation différentielle $y'' + 2y' + y = 0$. $(x-1)e^{-x} + 2(-xe^{-x}) + (x+1)e^{-x}$ Factoriser $e^{-x}$ : $e^{-x}((x-1) - 2x + (x+1))$ $e^{-x}(x-1 - 2x + x+1)$ $e^{-x}((x - 2x + x) + (-1 + 1))$ $e^{-x}(0 + 0)$ $0$ Puisque la substitution donne $0$, $f(x)$ est bien une solution de l'équation différentielle $y'' + 2y' + y = 0$.

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