The diagram shows the graph of y = A sin(Bx + C) + D. Use the diagram to determine the values of A, B, C and D.

Le graphique montre une fonction périodique. Un cycle complet commence à $t=0$, monte, descend et revient à sa position initiale en $t=4$.
La période est la durée d'un cycle complet.

La valeur maximale de la fonction est 1 et la valeur minimale est $-1$.
L'amplitude est la moitié de la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale, ou la valeur absolue du maximum (si la fonction est centrée sur 0).

La pulsation est donnée par $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

La fonction est de la forme $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$.
On sait que $y(0) = 0$.

Cela implique $\phi = k\pi$ pour un entier $k$.

À $t=0$, la fonction est croissante. La dérivée $y'(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi)$.

Puisque la fonction est croissante à $t=0$, $y'(0) > 0$, donc $\cos(\phi) > 0$.
La seule valeur de $\phi$ qui satisfait $\sin(\phi)=0$ et $\cos(\phi)>0$ est $\phi=0$ (ou $2k\pi$).

EXERCICE SUR LA FONCTION $f(x) = (ax+b)e^{-x}$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = (ax+b)e^{-x}$.

1. Calculer $f'(x)$.

Soit $u(x) = ax+b$ et $v(x) = e^{-x}$.  
Alors $u'(x) = a$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
$$
f'(x) = a e^{-x} + (ax+b)(-e^{-x})
$$
$$
f'(x) = e^{-x}(a - (ax+b))
$$
$$
f'(x) = e^{-x}(a - ax - b)
$$
$$
f'(x) = \boxed{(-ax + a - b)e^{-x}}
$$

2. Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe de $f$ passe par le point $A(0,1)$ et admette une tangente horizontale en $A$.

Cela signifie que la dérivée en $x=0$ est nulle, c'est-à-dire $f'(0) = 0$.  
En utilisant l'expression de $f'(x)$ et $b=1$:
$$
f'(0) = (-a(0) + a - b)e^{-0} = (a - b) \times 1 = a - b
$$
Donc $a - b = 0$.  
Puisque $b=1$, on a $a - 1 = 0$, ce qui donne $a = 1$.  
Les valeurs de $a$ et $b$ sont :
$$
a = \boxed{1}
$$
$$
b = \boxed{1}
$$

3. Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y'' + 2y' + y = 0$.