The figure below is an arc of a circle with points A, B and C on the arc. Determine the coordinates of the centre of the circle.

Huu hapa ni utatuzi wa swali la 11.

Swali la 11: Takwimu iliyo hapa chini ni sehemu ya duara yenye pointi A, B na C kwenye sehemu hiyo. Bainisha kuratibu za kituo cha duara (alama 4). Pointi zilizopewa ni: A$(-3, 5)$ B$(0, 2)$ C$(-3, -1)$

Step 1: Fafanua kuratibu za kituo cha duara. Acha kituo cha duara kiwe $(h, k)$. Umbali kutoka kituo hadi pointi yoyote kwenye duara ni sawa (radius). Hivyo, $CA^2 = CB^2 = CC^2$.

Step 2: Unda milinganyo kwa kutumia fomula ya umbali. Tunatumia fomula ya umbali $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Kwanza, linganisha umbali wa mraba kutoka kituo hadi A na B ($CA^2 = CB^2$): $(h - (-3))^2 + (k - 5)^2 = (h - 0)^2 + (k - 2)^2$ $(h + 3)^2 + (k - 5)^2 = h^2 + (k - 2)^2$ Panua milinganyo: $h^2 + 6h + 9 + k^2 - 10k + 25 = h^2 + k^2 - 4k + 4$ Ondoa $h^2$ na $k^2$ kutoka pande zote mbili: $6h - 10k + 34 = -4k + 4$ Panga upya ili kupata mlinganyo wa kwanza: $6h - 10k + 4k = 4 - 34$ $6h - 6k = -30$ Gawanya kwa 6: $h - k = -5 \quad (Mlinganyo 1)$

Pili, linganisha umbali wa mraba kutoka kituo hadi B na C ($CB^2 = CC^2$): $(h - 0)^2 + (k - 2)^2 = (h - (-3))^2 + (k - (-1))^2$ $h^2 + (k - 2)^2 = (h + 3)^2 + (k + 1)^2$ Panua milinganyo: $h^2 + k^2 - 4k + 4 = h^2 + 6h + 9 + k^2 + 2k + 1$ Ondoa $h^2$ na $k^2$ kutoka pande zote mbili: $-4k + 4 = 6h + 2k + 10$ Panga upya ili kupata mlinganyo wa pili: $0 = 6h + 2k + 4k + 10 - 4$ $0 = 6h + 6k + 6$ Gawanya kwa 6: $h + k = -1 \quad (Mlinganyo 2)$

Step 3: Tatua mfumo wa milinganyo. Tuna milinganyo miwili ya mstari:

1. $h - k = -5$
2. $h + k = -1$

Ongeza Mlinganyo 1 na Mlinganyo 2: $(h - k) + (h + k) = -5 + (-1)$ $2h = -6$ $h = -3$

Step 4: Tafuta thamani ya $k$. Badilisha $h = -3$ kwenye Mlinganyo 2: $-3 + k = -1$ $k = -1 + 3$ $k = 2$

Kuratibu za kituo cha duara ni $(-3, 2)$.

$\boxed{(-3, 2)}$