This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
Pour trouver les points maximum et minimum de la fonction f(t) = t + (1)/(2) 2t, nous devons d'abord trouver sa dérivée première, puis les points critiques, et enfin utiliser la dérivée seconde pour les classer. Step 1: Calculer la dérivée première de la fonction. La fonction est f(t) = t + (1)/(2) 2t. La dérivée de t est t. La dérivée de (1)/(2) 2t est (1)/(2)(- 2t)(2) = - 2t. Donc, la dérivée première est : f'(t) = t - 2t Step 2: Trouver les points critiques en égalant la dérivée première à zéro. Nous utilisons l'identité trigonométrique 2t = 2 t t. t - 2 t t = 0 Factorisons t: t (1 - 2 t) = 0 Cela nous donne deux cas : t = 0 t = ()/(2) + n 1 - 2 t = 0 t = (1)/(2) t = ()/(6) + 2n ou t = (5)/(6) + 2n où n est un entier. Les points critiques dans l'intervalle [0, 2] sont t = ()/(6), ()/(2), (5)/(6), (3)/(2). Step 3: Calculer la dérivée seconde et classer les points critiques. La dérivée seconde est f''(t) = - t - 2 2t. Pour t = ()/(6): f''(()/(6)) = -(()/(6)) - 2(()/(3)) = -(1)/(2) - 2((1)/(2)) = -(3)/(2) < 0 C'est un maximum local. Pour t = ()/(2): f''(()/(2)) = -(()/(2)) - 2() = -1 - 2(-1) = 1 > 0 C'est un minimum local. Pour t = (5)/(6): f''((5)/(6)) = -((5)/(6)) - 2((5)/(3)) = -(1)/(2) - 2((1)/(2)) = -(3)/(2) < 0 C'est un maximum local. Pour t = (3)/(2): f''((3)/(2)) = -((3)/(2)) - 2(3) = -(-1) - 2(-1) = 3 > 0 C'est un minimum local. Step 4: Calculer les valeurs de la fonction aux points critiques. Pour les maxima locaux (t = ()/(6) + 2n et t = (5)/(6) + 2n): f(()/(6)) = (()/(6)) + (1)/(2)(()/(3)) = (1)/(2) + (1)/(2)((1)/(2)) = (1)/(2) + (1)/(4) = (3)/(4) f((5)/(6)) = ((5)/(6)) + (1)/(2)((5)/(3)) = (1)/(2) + (1)/(2)((1)/(2)) = (1)/(2) + (1)/(4) = (3)/(4) Pour les minima locaux (t = ()/(2) + 2n et t = (3)/(2) + 2n): f(()/(2)) = (()/(2)) + (1)/(2)() = 1 + (1)/(2)(-1) = 1 - (1)/(2) = (1)/(2) f((3)/(2)) = ((3)/(2)) + (1)/(2)(3) = -1 + (1)/(2)(-1) = -1 - (1)/(2) = -(3)/(2) Les points maximum et minimum sont : Points de ✂️ _That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it._