The maximum and minimum points of sin t + 1/2 cos 2t

La fonction est $f(t) = \sin t + \frac{1}{2}\cos 2t$.
La dérivée de $\sin t$ est $\cos t$.
La dérivée de $\frac{1}{2}\cos 2t$ est $\frac{1}{2}(-\sin 2t)(2) = -\sin 2t$.
Donc, la dérivée première est :

$$f'(t) = \cos t - \sin 2t$$

Nous utilisons l'identité trigonométrique $\sin 2t = 2\sin t \cos t$.

$$\cos t - 2\sin t \cos t = 0$$

Factorisons $\cos t$:

$$\cos t (1 - 2\sin t) = 0$$

Cela nous donne deux cas :

• $\cos t = 0 \implies t = \frac{\pi}{2} + n\pi$
• $1 - 2\sin t = 0 \implies \sin t = \frac{1}{2} \implies t = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \text{ ou } t = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ où $n$ est un entier. Les points critiques dans l'intervalle $[0, 2\pi]$ sont $t = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$.

La dérivée seconde est $f''(t) = -\sin t - 2\cos 2t$.

• Pour $t = \frac{\pi}{6}$: $$f''\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - 2\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} < 0$$ C'est un maximum local.
• Pour $t = \frac{\pi}{2}$: $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\cos(\pi) = -1 - 2(-1) = 1 > 0$$ C'est un minimum local.
• Pour $t = \frac{5\pi}{6}$: $$f''\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - 2\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - 2\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} < 0$$ C'est un maximum local.
• Pour $t = \frac{3\pi}{2}$: $$f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 2\cos(3\pi) = -(-1) - 2(-1) = 3 > 0$$ C'est un minimum local.

• Pour les maxima locaux ($t = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ et $t = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$): $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
• Pour les minima locaux ($t = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ et $t = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$): $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}\cos(\pi) = 1 + \frac{1}{2}(-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}\cos(3\pi) = -1 + \frac{1}{2}(-1) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$

Les points maximum et minimum sont :

• Points de