The probability distribution of a discrete random variable X is given by P(X = x) = { k(x + 1), x = 1, 2, 3, k(x - 3), x = 4, 5, 6, 0, elsewhere. (a). Find the value of the constant k. (b). Find the mean of X. (c). Find the variance of X.

Question

Asked on June 18, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-06-18T12:30:11.457Z

Voici les étapes pour résoudre le problème : Partie (a) : Trouver la valeur de la constante k. Step 1: La somme de toutes les probabilités dans une distribution de probabilité discrète doit être égale à 1. P(X=x) = 1 Nous listons les probabilités pour chaque valeur de x : Pour x=1, 2, 3: P(X=x) = k(x+1) P(X=1) = k(1+1) = 2k P(X=2) = k(2+1) = 3k P(X=3) = k(3+1) = 4k Pour x=4, 5, 6: P(X=x) = k(x-3) P(X=4) = k(4-3) = k P(X=5) = k(5-3) = 2k P(X=6) = k(6-3) = 3k Step 2: Additionnez toutes les probabilités et résolvez pour k. 2k + 3k + 4k + k + 2k + 3k = 1 (2+3+4+1+2+3)k = 1 15k = 1 k = (1)/(15) La valeur de la constante k est (1)/(15). Partie (b) : Trouver la moyenne de X. Step 1: La moyenne (espérance mathématique) E(X) est calculée par la formule E(X) = x · P(X=x). E(X) = 1 · P(X=1) + 2 · P(X=2) + 3 · P(X=3) + 4 · P(X=4) + 5 · P(X=5) + 6 · P(X=6) E(X) = 1(2k) + 2(3k) + 3(4k) + 4(k) + 5(2k) + 6(3k) E(X) = 2k + 6k + 12k + 4k + 10k + 18k Step 2: Additionnez les termes et substituez la valeur de k = (1)/(15). E(X) = (2+6+12+4+10+18)k E(X) = 52k E(X) = 52 · (1)/(15) E(X) = (52)/(15) La moyenne de X est (52)/(15). Partie (c) : Trouver la variance de X. Step 1: La variance Var(X) est donnée par la formule Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2. Nous devons d'abord calculer E(X^2). E(X^2) = x^2 · P(X=x) E(X^2) = 1^2 P(X=1) + 2^2 P(X=2) + 3^2 P(X=3) + 4^2 P(X=4) + 5^2 P(X=5) + 6^2 P(X=6) E(X^2) = 1(2k) + 4(3k) + 9(4k) + 16(k) + 25(2k) + 36(3k) E(X^2) = 2k + 12k + 36k + 16k + 50k + 108k Step 2: Additionnez les termes et substituez la valeur de k = (1)/(15). E(X^2) = (2+12+36+16+50+108)k E(X^2) = 224k E(X^2) = 224 · (1)/(15) E(X^2) = (224)/(15) Step 3: Calculez la variance en utilisant E(X^2) et E(X) = (52)/(15). Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 Var(X) = (224)/(15) - ((52)/(15))^2 Var(X) = (224)/(15) - (2704)/(225) Pour soustraire, mettez les fractions sur un dénominateur commun (225). Var(X) = (224 × 15)/(15 × 15) - (2704)/(225) Var(X) = (3360)/(225) - (2704)/(225) Var(X) = (3360 - 2704)/(225) Var(X) = (656)/(225) La variance de X est (656)/(225). 3 done, 2 left today. You're making progress.

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Voici les étapes pour résoudre le problème : Partie (a) : Trouver la valeur de la constante k. Step 1: La somme de toutes les probabilités dans une distribution de probabilité discrète doit être égale à 1. P(X=x) = 1 Nous listons les probabilités pour chaque valeur de x : Pour x=1, 2, 3: P(X=x) = k(x+1) P(X=1) = k(1+1) = 2k P(X=2) = k(2+1) = 3k P(X=3) = k(3+1) = 4k Pour x=4, 5, 6: P(X=x) = k(x-3) P(X=4) = k(4-3) = k P(X=5) = k(5-3) = 2k P(X=6) = k(6-3) = 3k Step 2: Additionnez toutes les probabilités et résolvez pour k. 2k + 3k + 4k + k + 2k + 3k = 1 (2+3+4+1+2+3)k = 1 15k = 1 k = (1)/(15) La valeur de la constante k est (1)/(15). Partie (b) : Trouver la moyenne de X. Step 1: La moyenne (espérance mathématique) E(X) est calculée par la formule E(X) = x · P(X=x). E(X) = 1 · P(X=1) + 2 · P(X=2) + 3 · P(X=3) + 4 · P(X=4) + 5 · P(X=5) + 6 · P(X=6) E(X) = 1(2k) + 2(3k) + 3(4k) + 4(k) + 5(2k) + 6(3k) E(X) = 2k + 6k + 12k + 4k + 10k + 18k Step 2: Additionnez les termes et substituez la valeur de k = (1)/(15). E(X) = (2+6+12+4+10+18)k E(X) = 52k E(X) = 52 · (1)/(15) E(X) = (52)/(15) La moyenne de X est (52)/(15). Partie (c) : Trouver la variance de X. Step 1: La variance Var(X) est donnée par la formule Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2. Nous devons d'abord calculer E(X^2). E(X^2) = x^2 · P(X=x) E(X^2) = 1^2 P(X=1) + 2^2 P(X=2) + 3^2 P(X=3) + 4^2 P(X=4) + 5^2 P(X=5) + 6^2 P(X=6) E(X^2) = 1(2k) + 4(3k) + 9(4k) + 16(k) + 25(2k) + 36(3k) E(X^2) = 2k + 12k + 36k + 16k + 50k + 108k Step 2: Additionnez les termes et substituez la valeur de k = (1)/(15). E(X^2) = (2+12+36+16+50+108)k E(X^2) = 224k E(X^2) = 224 · (1)/(15) E(X^2) = (224)/(15) Step 3: Calculez la variance en utilisant E(X^2) et E(X) = (52)/(15). Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 Var(X) = (224)/(15) - ((52)/(15))^2 Var(X) = (224)/(15) - (2704)/(225) Pour soustraire, mettez les fractions sur un dénominateur commun (225). Var(X) = (224 × 15)/(15 × 15) - (2704)/(225) Var(X) = (3360)/(225) - (2704)/(225) Var(X) = (3360 - 2704)/(225) Var(X) = (656)/(225) La variance de X est (656)/(225). 3 done, 2 left today. You're making progress.

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