The probability distribution of a discrete random variable X is given by P(X = x) = { k(x + 1), x = 1, 2, 3, k(x - 3), x = 4, 5, 6, 0, elsewhere. (a). Find the value of the constant k. (b). Find the mean of X. (c). Find the variance of X.

Voici les étapes pour résoudre le problème :

Partie (a) : Trouver la valeur de la constante $k$.

Step 1: La somme de toutes les probabilités dans une distribution de probabilité discrète doit être égale à 1. $\sum P(X=x) = 1$ Nous listons les probabilités pour chaque valeur de $x$ : Pour $x=1, 2, 3$: $P(X=x) = k(x+1)$ $P(X=1) = k(1+1) = 2k$ $P(X=2) = k(2+1) = 3k$ $P(X=3) = k(3+1) = 4k$

Pour $x=4, 5, 6$: $P(X=x) = k(x-3)$ $P(X=4) = k(4-3) = k$ $P(X=5) = k(5-3) = 2k$ $P(X=6) = k(6-3) = 3k$

Step 2: Additionnez toutes les probabilités et résolvez pour $k$. $2k + 3k + 4k + k + 2k + 3k = 1$ $(2+3+4+1+2+3)k = 1$ $15k = 1$ $k = \frac{1}{15}$ La valeur de la constante $k$ est $\boxed{\frac{1}{15}}$.

Partie (b) : Trouver la moyenne de $X$.

Step 1: La moyenne (espérance mathématique) $E(X)$ est calculée par la formule $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$. $E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) + 5 \cdot P(X=5) + 6 \cdot P(X=6)$ $E(X) = 1(2k) + 2(3k) + 3(4k) + 4(k) + 5(2k) + 6(3k)$ $E(X) = 2k + 6k + 12k + 4k + 10k + 18k$

Step 2: Additionnez les termes et substituez la valeur de $k = \frac{1}{15}$. $E(X) = (2+6+12+4+10+18)k$ $E(X) = 52k$ $E(X) = 52 \cdot \frac{1}{15}$ $E(X) = \frac{52}{15}$ La moyenne de $X$ est $\boxed{\frac{52}{15}}$.

Partie (c) : Trouver la variance de $X$.

Step 1: La variance $Var(X)$ est donnée par la formule $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. Nous devons d'abord calculer $E(X^2)$. $E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x)$ $E(X^2) = 1^2 P(X=1) + 2^2 P(X=2) + 3^2 P(X=3) + 4^2 P(X=4) + 5^2 P(X=5) + 6^2 P(X=6)$ $E(X^2) = 1(2k) + 4(3k) + 9(4k) + 16(k) + 25(2k) + 36(3k)$ $E(X^2) = 2k + 12k + 36k + 16k + 50k + 108k$

Step 2: Additionnez les termes et substituez la valeur de $k = \frac{1}{15}$. $E(X^2) = (2+12+36+16+50+108)k$ $E(X^2) = 224k$ $E(X^2) = 224 \cdot \frac{1}{15}$ $E(X^2) = \frac{224}{15}$

Step 3: Calculez la variance en utilisant $E(X^2)$ et $E(X) = \frac{52}{15}$. $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ $Var(X) = \frac{224}{15} - \left(\frac{52}{15}\right)^2$ $Var(X) = \frac{224}{15} - \frac{2704}{225}$ Pour soustraire, mettez les fractions sur un dénominateur commun (225). $Var(X) = \frac{224 \times 15}{15 \times 15} - \frac{2704}{225}$ $Var(X) = \frac{3360}{225} - \frac{2704}{225}$ $Var(X) = \frac{3360 - 2704}{225}$ $Var(X) = \frac{656}{225}$ La variance de $X$ est $\boxed{\frac{656}{225}}$.