The quantity of maize, in kilogrammes (kg), harvested by 100 farmers are recorded as follows: (a) Draw a cumulative frequency graph of the distribution. From your graph above, estimate (b) the median

Pour dessiner le graphique de fréquences cumulées (ogive) :

• Tracez un axe horizontal (axe des x) pour le poids du maïs (kg) et un axe vertical (axe des y) pour la fréquence cumulée.
• Marquez les limites supérieures réelles des classes sur l'axe des x.
• Placez les points correspondant aux paires (limite supérieure réelle de la classe, fréquence cumulée). Les points à tracer sont : $$(4,5 ; 0), (9,5 ; 2), (14,5 ; 31), (19,5 ; 68), (24,5 ; 84), (29,5 ; 98), (34,5 ; 100)$$ Notez que le point $(4,5 ; 0)$ est ajouté pour que le graphique commence à la limite inférieure réelle de la première classe avec une fréquence cumulée de zéro.
• Reliez ces points par des segments de droite pour former l'ogive.

La médiane est la valeur qui divise la distribution en deux moitiés égales. Pour un total de $N = 100$ observations, la position de la médiane est $\frac{N}{2}$.

$$\text{Position de la médiane} = \frac{100}{2} = 50$$

Cela signifie que la médiane est la valeur de maïs correspondant à la 50ème observation dans la distribution cumulée.

Pour estimer la médiane à partir du graphique :

• Localisez la valeur 50 sur l'axe des fréquences cumulées (axe y).
• Tracez une ligne horizontale à partir de 50 jusqu'à ce qu'elle croise l'ogive.
• À partir du point d'intersection sur l'ogive, tracez une ligne verticale vers l'axe du poids du maïs (axe x).
• Lisez la valeur sur l'axe x. Cette valeur est l'estimation de la médiane.

En utilisant l'interpolation linéaire (ce qui est équivalent à lire précisément sur un graphique bien tracé), la classe médiane est 15-19 kg, car la 50ème observation se situe entre la 31ème (fin de la classe précédente) et la 68ème (fin de la classe actuelle).
La formule pour la médiane des données groupées est :

$$\text{Médiane} = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - CF_b}{f_m} \right) \times c$$

Où :

• $L = 14,5$ (limite inférieure réelle de la classe médiane)
• $N = 100$ (nombre total d'observations)
• $CF_b = 31$ (fréquence cumulée de la classe précédant la classe médiane)
• $f_m = 37$ (fréquence de la classe médiane)
• $c = 5$ (largeur de la classe médiane, $19,5 - 14,5$)

Substituons les valeurs :

$$\text{Médiane} = 14,5 + \left( \frac{50 - 31}{37} \right) \times 5$$ $$\text{Médiane} = 14,5 + \left( \frac{19}{37} \right) \times 5$$ $$\text{Médiane} = 14,5 + \frac{95}{37}$$ $$\text{Médiane} \approx 14,5 + 2,5676$$ $$\text{Médiane} \approx 17,0676$$

Arrondie à une décimale, l'estimation de la médiane est :

$$\boxed{\text{Médiane} \approx \text{17,1 kg}}$$