What are the solutions to these problems: simplify exponents, write perfect squares, identify non-perfect…

Question

What are the solutions to these problems: simplify exponents, write perfect squares, identify non-perfect squares, and find the smallest number?

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यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं: 1. सरल कीजिए (Simplify) 1) 10⁻² × 10⁻⁵ Step 1: घातांक के नियम a^m × aⁿ = a^(m+n) का प्रयोग करें।; 10⁻² × 10⁻⁵ = 10⁽⁻²⁾⁺⁽⁻⁵⁾ Step 2: घातांकों को जोड़ें। 10⁻² × 10⁻⁵ = 10⁻⁷ Final Answer: 10⁻⁷ 2) (13−2)³ Step 1: कोष्ठक के अंदर की संख्या को घटाएँ। (13−2)³ = (11)³ Step 2: परिणाम का घन (cube) ज्ञात करें। (11)³ = 11 × 11 × 11 = 121 × 11 = 1331 Final Answer: 1331 2. पूर्णा वर्गो को लिखिए (Write the perfect squares) 1) 5² Step 1: 5 का वर्ग ज्ञात करें। 5² = 5 × 5 = 25 Final Answer: 25 2) 21² Step 1: 21 का वर्ग ज्ञात करें। 21² = 21 × 21 = 441 Final Answer: 441 3) 18² Step 1: 18 का वर्ग ज्ञात करें। 18² = 18 × 18 = 324 Final Answer: 324 3. पूर्ण वर्ग नहीं है? (Which is not a perfect square?) a) 2032 Step 1: किसी संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 होने पर वह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती। 2032 का इकाई अंक 2 है। Final Answer: 2032 b) 1089 Step 1: 1089 का इकाई अंक 9 है, इसलिए यह एक पूर्ण वर्ग हो सकता है। Step 2: 33 × 33 = 1089 होता है। इसलिए, 1089 एक पूर्ण वर्ग है। 4. सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए (Find the smallest number) संख्याएँ हैं 8404 और 9408 Step 1: दोनों संख्याओं की तुलना करें। 8404 < 9408 Final Answer: 8404 5. 1) √[3]64 Step 1: 64 का घनमूल (cube root) ज्ञात करें। 4 × 4 × 4 = 64; √[3]64 = 4 Final Answer: 4 2) √[3]512 Step 1: 512 का घनमूल ज्ञात करें। 8 × 8 × 8 = 512; √[3]512 = 8 Final Answer: 8 3) √(729) Step 1: 729 का वर्गमूल (square root) ज्ञात करें। 27 × 27 = 729; √(729) = 27 Final Answer: 27 6. सबसे बड़ा कौन है (Which is the largest?) 1) 67³ − 66³ Step 1: a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²) सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ a=67 और b=66 है।; 67³ − 66³ = (67−66)(67² + 67 × 66 + 66²); = (1)(4489 + 4422 + 4356) Step 2: संख्याओं को जोड़ें। = 13267 2) 43² − 42² Step 1: a² − b² = (a−b)(a+b) सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ a=43 और b=42 है।; 43² − 42² = (43−42)(43+42); = (1)(85) Step 2: गुणा करें। = 85 Step 3: दोनों परिणामों की तुलना करें। 13267 > 85 Final Answer: 67³ − 66³

What are the solutions to these problems: simplify exponents, write perfect squares, identify non-perfect squares, and find the smallest number?

Step-by-step solution

Part a· 1 step

किसी संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 होने पर वह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।

Part b· 11 steps

1089 का इकाई अंक 9 है, इसलिए यह एक पूर्ण वर्ग हो सकता है।

$33 \times 33 = 1089$ होता है।

दोनों संख्याओं की तुलना करें।

64 का घनमूल (cube root) ज्ञात करें।

512 का घनमूल ज्ञात करें।

729 का वर्गमूल (square root) ज्ञात करें।

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ $a=67$ और $b=66$ है।

संख्याओं को जोड़ें।

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ $a=43$ और $b=42$ है।

गुणा करें।

दोनों परिणामों की तुलना करें।

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Step-by-step solution

Part a· 1 step

किसी संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 होने पर वह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।

Part b· 11 steps

1089 का इकाई अंक 9 है, इसलिए यह एक पूर्ण वर्ग हो सकता है।

33×33=108933 \times 33 = 108933×33=1089 होता है।

दोनों संख्याओं की तुलना करें।

64 का घनमूल (cube root) ज्ञात करें।

512 का घनमूल ज्ञात करें।

729 का वर्गमूल (square root) ज्ञात करें।

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ a=67a=67a=67 और b=66b=66b=66 है।

संख्याओं को जोड़ें।

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b) सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ a=43a=43a=43 और b=42b=42b=42 है।

गुणा करें।

दोनों परिणामों की तुलना करें।

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$33 \times 33 = 1089$ होता है।

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ $a=67$ और $b=66$ है।

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ $a=43$ और $b=42$ है।