The sum of the first three consecutive terms of a G.P is 42. The numbers are also the first, fourth and tenth terms of an A.P. Find: (a) The first and the common ratio of the G.P. (b) The third term of the G.P. (c) The least number of terms of the G.P that will give a sum greater than 550.

Jumla ya nambari tatu za kwanza za G.P. ni 42.

Nambari ya kwanza, ya nne, na ya kumi ya G.P. pia ni nambari ya kwanza, ya nne, na ya kumi ya A.P.
Hivyo, ikiwa $A$ ni nambari ya kwanza ya A.P. na $D$ ni tofauti ya kawaida:

Badilisha $A=a$ katika Mlinganyo 2 na 3:

Kutoka mlinganyo wa kwanza wa A.P., $3D = ar^3 - a$.
Kutoka mlinganyo wa pili wa A.P., $9D = ar^9 - a$.
Panua $3D$ kwa 3 ili kupata $9D$: $9D = 3(ar^3 - a)$.
Sasa linganisha misemo miwili ya $9D$:

Kwa kuwa $a \neq 0$ (jumla ya G.P. si sifuri), tunaweza kugawanya kwa $a$:

Wacha $x = r^3$. Mlinganyo unakuwa:

Kwa kujaribu, $x=1$ ni suluhisho: $1^3 - 3(1) + 2 = 0$. Hivyo $(x-1)$ ni kipengele.
Gawanya polynomial:

Factor quadratic:

Hivyo, $(x-1)^2(x+2) = 0$.
Suluhisho ni $x=1$ au $x=-2$.

Kesi 1: $x = r^3 = 1$.
Hii inamaanisha $r=1$.
Badilisha $r=1$ katika Mlinganyo 1:

Hivyo, suluhisho moja ni $a=14$ na $r=1$.

Kesi 2: $x = r^3 = -2$.
Hii inamaanisha $r = \sqrt[3]{-2}$.
Badilisha $r = \sqrt[3]{-2}$ katika Mlinganyo 1:

Ingawa hili ni suluhisho halali, kwa kawaida katika maswali kama haya, majibu rahisi (nambari kamili au sehemu) yanatarajiwa. Tutatumia suluhisho rahisi zaidi ($a=14, r=1$).

Nambari ya kwanza ni $a=14$ na uwiano wa kawaida ni $r=1$.

Fomula ya nambari ya $n$-th ya G.P. ni $T_n = ar^{n-1}$.
Kwa nambari ya tatu, $n=3$.

Kutumia $a=14$ na $r=1$:

Nambari ya tatu ya G.P. ni 14.

Kwa kuwa $r=1$, jumla ya nambari $n$ za kwanza ni $S_n = na$.

Tunataka idadi ndogo zaidi ya nambari $n$ ambapo $S_n > 550$.

Kwa kuwa $n$ lazima iwe nambari kamili, nambari kamili ndogo zaidi ambayo ni kubwa kuliko 39.2857... ni 40.
Idadi ndogo zaidi ya nambari ni 40.