The sum of the first three consecutive terms of a G.P is 42. The numbers are also the first, fourth and tenth terms of an A.P. Find: (a) The first and the common ratio of the G.P. (b) The third term of the G.P. (c) The least number of terms of the G.P that will give a sum greater than 550.

a) Ili kupata nambari ya kwanza (a) na uwiano wa kawaida (r) wa G.P., tutatumia taarifa uliyopewa. Step 1: Andika milinganyo kulingana na taarifa. Jumla ya nambari tatu za kwanza za G.P. ni 42. a + ar + ar^2 = 42 (Mlinganyo 1) Nambari ya kwanza, ya nne, na ya kumi ya G.P. pia ni nambari ya kwanza, ya nne, na ya kumi ya A.P. Hivyo, ikiwa A ni nambari ya kwanza ya A.P. na D ni tofauti ya kawaida: a = A ar^3 = A + 3D (Mlinganyo 2) ar^9 = A + 9D (Mlinganyo 3) Step 2: Tatua milinganyo ili kupata a na r. Badilisha A=a katika Mlinganyo 2 na 3: ar^3 = a + 3D ar^9 = a + 9D Kutoka mlinganyo wa kwanza wa A.P., 3D = ar^3 - a. Kutoka mlinganyo wa pili wa A.P., 9D = ar^9 - a. Panua 3D kwa 3 ili kupata 9D: 9D = 3(ar^3 - a). Sasa linganisha misemo miwili ya 9D: ar^9 - a = 3(ar^3 - a) ar^9 - a = 3ar^3 - 3a ar^9 - 3ar^3 + 2a = 0 Kwa kuwa a ≠ 0 (jumla ya G.P. si sifuri), tunaweza kugawanya kwa a: r^9 - 3r^3 + 2 = 0 Wacha x = r^3. Mlinganyo unakuwa: x^3 - 3x + 2 = 0 Kwa kujaribu, x=1 ni suluhisho: 1^3 - 3(1) + 2 = 0. Hivyo (x-1) ni kipengele. Gawanya polynomial: (x-1)(x^2 + x - 2) = 0 Factor quadratic: (x-1)(x+2)(x-1) = 0 Hivyo, (x-1)^2(x+2) = 0. Suluhisho ni x=1 au x=-2. Kesi 1: x = r^3 = 1. Hii inamaanisha r=1. Badilisha r=1 katika Mlinganyo 1: a + a(1) + a(1)^2 = 42 3a = 42 a = 14 Hivyo, suluhisho moja ni a=14 na r=1. Kesi 2: x = r^3 = -2. Hii inamaanisha r = [3]-2. Badilisha r = [3]-2 katika Mlinganyo 1: a(1 + [3]-2 + ([3]-2)^2) = 42 a(1 + [3]-2 + [3]4) = 42 a = (42)/(1 + [3]-2) + [3]4 Ingawa hili ni suluhisho halali, kwa kawaida katika maswali kama haya, majibu rahisi (nambari kamili au sehemu) yanatarajiwa. Tutatumia suluhisho rahisi zaidi (a=14, r=1). Nambari ya kwanza ni a=14 na uwiano wa kawaida ni r=1. a=14, r=1 b) Ili kupata nambari ya tatu ya G.P. Step 1: Tumia fomula ya nambari ya n-th ya G.P. Fomula ya nambari ya n-th ya G.P. ni T_n = ar^n-1. Kwa nambari ya tatu, n=3. T_3 = ar^3-1 = ar^2 Step 2: Badilisha thamani za a na r. Kutumia a=14 na r=1: T_3 = 14 · (1)^2 = 14 · 1 = 14 Nambari ya tatu ya G.P. ni 14. 14 c) Ili kupata idadi ndogo zaidi ya nambari za G.P. zitakazotoa jumla kubwa kuliko 550. Step 1: Tumia fomula ya jumla ya nambari n za kwanza za G.P. Kwa kuwa r=1, jumla ya nambari n za kwanza ni S_n = na. Step 2: Weka usawa na utatue kwa n. Tunataka idadi ndogo zaidi ya nambari n ambapo S_n > 550. na > 550 14n > 550 n > (550)/(14) n > (275)/(7) n > 39.2857... Step 3: Bainisha thamani ndogo zaidi ya nambari kamili kwa n. Kwa kuwa n lazima iwe nambari kamili, nambari kamili ndogo zaidi ambayo ni kubwa kuliko 39.2857... ni 40. Idadi ndogo zaidi ya nambari ni 40. 40 Tuma swali linalofuata 📸