The system of linear equations 4x – 12y = k and x = 3y + 4 is found inconsistent. Which of the following is true for the value of k ?

पहला समीकरण: $4x - 12y = k$
दूसरा समीकरण: $x = 3y + 4 \implies x - 3y = 4$

दो रैखिक समीकरणों $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए, प्रणाली असंगत होती है यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$।
यहाँ, $a_1 = 4, b_1 = -12, c_1 = k$ और $a_2 = 1, b_2 = -3, c_2 = 4$।
अनुपात की गणना करें:

इसका मतलब है कि $4 \neq \frac{k}{4}$।

अतः, $k$ का मान 16 के बराबर नहीं होना चाहिए।

The final answer is $\boxed{\text{C}}$.

10. एक वृत्त का व्यास जो $(2, -3)$ से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र $(1, 1)$ है, है:

वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है और यह बिंदु $(2, -3)$ से होकर गुजरता है। त्रिज्या $r$ केंद्र और वृत्त पर स्थित बिंदु के बीच की दूरी है। दूरी सूत्र का उपयोग करें: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।

व्यास $D = 2r$ होता है।

The final answer is $\boxed{\text{A}}$.

11. दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। दोनों विषम संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता है:

जब दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं, तो कुल संभावित परिणाम $6 \times 6 = 36$ होते हैं।

दोनों पासों पर विषम संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक पासे पर विषम संख्या आनी चाहिए। एक पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ होती हैं (कुल 3 विषम संख्याएँ)।
इसलिए, दोनों पासों पर विषम संख्याएँ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम $3 \times 3 = 9$ होते हैं।

प्रायिकता $P(\text{घटना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$।

The final answer is $\boxed{\text{B}}$.

12. राजू 16 cm व्यास और 24 cm ऊँचाई वाली एक शंक्वाकार जन्मदिन की टोपी पहने हुए है। टोपी की तिर्यक ऊँचाई है:

शंकु के आधार का व्यास $D = 16$ cm दिया गया है।
त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{16}{2} = 8$ cm।
शंकु की ऊँचाई $h = 24$ cm दी गई है।

एक शंकु के लिए, तिर्यक ऊँचाई $l$, त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $l^2 = r^2 + h^2$।

The final answer is $\boxed{\text{A}}$.

13. द्विघात समीकरण $4x^2 + 8n = 0$ के वास्तविक और भिन्न मूल हैं। $n$ के मान के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

दिया गया द्विघात समीकरण है $4x^2 + 8n = 0$।
इसे $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है: $4x^2 + 0x + 8n = 0$।
यहाँ, $a = 4$, $b = 0$, और $c = 8n$।

एक द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल होते हैं यदि उसका विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac > 0$ हो।

विविक्तकर की गणना करें:

वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए, $D > 0$ होना चाहिए:

दोनों पक्षों को $-128$ से भाग देने पर, असमानता का चिन्ह उलट जाएगा:

अतः, $n$ का मान 0 से कम होना चाहिए।

The final answer is $\boxed{\text{D}}$.